La théorie des jeux 191
Il n’y a pas de point-selle pour ce jeu, et aucune stratégie véritable ne se dégage de
manière évidente. Si un joueur choisit toujours le papier par exemple, son adversaire s’en rendra compte et il lui suffira de choisir les ciseaux pour gagner à chaque
fois. Selon le « théorème du minimax » de von Neumann, il existe une « stratégie
mixte » c’est-à-dire une façon de choisir différentes actions qui repose sur les probabilités.
D’un point de vue mathématique, les joueurs devraient faire leur choix de manière
aléatoire, mais globalement, le papier, les ciseaux et la pierre devraient tous être
choisis avec une probabilité égale à 1/3. Toutefois, s’en remettre aveuglément au
hasard n’est peut-être pas toujours la meilleure ligne de conduite à adopter. Les
champions du monde ont en effet une façon particulière de choisir leur stratégie
qui consiste à utiliser une petite astuce « psychologique ». Ils sont très doués pour
anticiper les réactions de leurs adversaires.
À quel moment un jeu n’est-il pas à somme nulle ? Tous les jeux
ne sont pas à somme nulle. Chaque joueur possède parfois sa propre matrice des
gains. Un exemple célèbre est le dilemme du « prisonnier » conçu par A. W. Tucker.
Deux hommes, André et Bernard, sont arrêtés par la police sur présomption de vol
caractérisé et détenus dans des cellules séparées de manière à éviter tout échange
entre eux. Les gains, lorsqu’il s’agit comme ici de condamnations à la prison, ne
dépendent pas seulement des réactions des accusés lors des interrogatoires de police
mais aussi de la manière dont ils répondent conjointement. Si A avoue et si B nie,
alors A est condamné à un an de prison (de la matrice des gains de A) mais B est
condamné à 10 ans (de la matrice des gains de B). Si A n’avoue pas mais si B avoue,
les condamnations s’inversent. Si tous les deux avouent, ils sont condamnés à 4 ans
chacun, mais si aucun n’avoue et qu’ils clament tous deux leur innocence, ils s’en
sortent indemnes !
A
B
B
B
Avoue
N’avoue pas
Avoue
N’avoue pas
A
Avoue
+ 4
+ 1
A
Avoue
+ 4
+ 10
N’avoue pas
+ 10
0
N’avoue pas
+ 1
0
Si les prisonniers pouvaient coopérer, ils prendraient la ligne de conduite optimale
et n’avoueraient pas : ce serait un accord « gagnant-gagnant ».
l’idée clé
Mathématiques
gagnant-gagnant
Il n’y a pas de point-selle pour ce jeu, et aucune stratégie véritable ne se dégage de
manière évidente. Si un joueur choisit toujours le papier par exemple, son adversaire s’en rendra compte et il lui suffira de choisir les ciseaux pour gagner à chaque
fois. Selon le « théorème du minimax » de von Neumann, il existe une « stratégie
mixte » c’est-à-dire une façon de choisir différentes actions qui repose sur les probabilités.
D’un point de vue mathématique, les joueurs devraient faire leur choix de manière
aléatoire, mais globalement, le papier, les ciseaux et la pierre devraient tous être
choisis avec une probabilité égale à 1/3. Toutefois, s’en remettre aveuglément au
hasard n’est peut-être pas toujours la meilleure ligne de conduite à adopter. Les
champions du monde ont en effet une façon particulière de choisir leur stratégie
qui consiste à utiliser une petite astuce « psychologique ». Ils sont très doués pour
anticiper les réactions de leurs adversaires.
À quel moment un jeu n’est-il pas à somme nulle ? Tous les jeux
ne sont pas à somme nulle. Chaque joueur possède parfois sa propre matrice des
gains. Un exemple célèbre est le dilemme du « prisonnier » conçu par A. W. Tucker.
Deux hommes, André et Bernard, sont arrêtés par la police sur présomption de vol
caractérisé et détenus dans des cellules séparées de manière à éviter tout échange
entre eux. Les gains, lorsqu’il s’agit comme ici de condamnations à la prison, ne
dépendent pas seulement des réactions des accusés lors des interrogatoires de police
mais aussi de la manière dont ils répondent conjointement. Si A avoue et si B nie,
alors A est condamné à un an de prison (de la matrice des gains de A) mais B est
condamné à 10 ans (de la matrice des gains de B). Si A n’avoue pas mais si B avoue,
les condamnations s’inversent. Si tous les deux avouent, ils sont condamnés à 4 ans
chacun, mais si aucun n’avoue et qu’ils clament tous deux leur innocence, ils s’en
sortent indemnes !
A
B
B
B
Avoue
N’avoue pas
Avoue
N’avoue pas
A
Avoue
+ 4
+ 1
A
Avoue
+ 4
+ 10
N’avoue pas
+ 10
0
N’avoue pas
+ 1
0
Si les prisonniers pouvaient coopérer, ils prendraient la ligne de conduite optimale
et n’avoueraient pas : ce serait un accord « gagnant-gagnant ».
l’idée clé
Mathématiques
gagnant-gagnant