50 clés pour comprendre les maths
174
On trouve une autre interprétation du carré dans le « problème des neuf officiers »,
problème historique dans lequel neuf officiers appartenant à trois régiments a, b et
c et de grades différents A, B et C sont placés sur un terrain de manœuvres de sorte
que chaque ligne et chaque colonne contiennent un officier de chaque régiment
et de grade différent. Les carrés latins de ce type sont dits « orthogonaux ». Le cas
du carré 3 × 3 est simple mais trouver des paires de carrés latins orthogonaux pour
construire de plus grands carrés est loin d’être facile. Il fallait tout le génie d’Euler
pour y parvenir.
Dans le cas du carré latin 4 × 4, un « problème de 16 officiers » consisterait à arranger
les 16 figures d’un jeu de cartes dans un carré de sorte qu’il y ait une valeur (As, Roi,
Dame, ou Valet) et une couleur (pique, trèfle, cœur, ou carreau) dans chaque ligne et
dans chaque colonne. En 1782, Euler a posé le même problème pour « 36 officiers ».
Cela revenait à rechercher deux carrés orthogonaux d’ordre 6. Il ne parvint pas à
les trouver et conjectura qu’il n’existait aucune paire de carrés latins orthogonaux
d’ordre 6, 10, 14, 18, 22, … Peut-on le prouver ?
Vint ensuite Gaston Tarry, mathématicien amateur qui était fonctionnaire en
Algérie. Il examina soigneusement quelques exemples et en 1900 avait vérifié la
conjecture d’Euler pour un cas : il n’existe pas de paire de carrés latins orthogonaux
d’ordre 6. Les mathématiciens pensèrent tout naturellement qu’Euler avait raison
pour les autres cas d’ordre 10, 14, 18, 22, …
En 1960, les efforts combinés de trois mathématiciens stupéfièrent le monde mathématique en prouvant qu’Euler s’était trompé pour tous les autres cas. Raj Bose,
Ernest Parker et Sharadchandra Shrikhande prouvèrent qu’il y avait bien des paires
de carrés latins orthogonaux d’ordre 10, 14, 18, 22, … Le seul et unique cas où les
carrés latins n’existent pas (mis à part les carrés sans intérêt d’ordre 1 et 2) est celui
d’ordre 6.
Nous avons vu qu’il existe deux carrés latins d’ordre 3 mutuellement orthogonaux.
Pour l’ordre 4, on peut produire trois carrés mutuellement orthogonaux. On peut
montrer qu’il n’y a jamais plus de n – 1 carrés latins mutuellement orthogonaux
d’ordre n, et donc pour n = 10, par exemple, il ne peut y avoir plus de neuf carrés
mutuellement orthogonaux mais les trouver est une autre paire de manches. À ce
jour, personne n’a réussi à produire ne serait-ce que trois carrés latins mutuellement
orthogonaux d’ordre 10.
À quoi servent les carrés latins ? R. A. Fisher, éminent statisticien, comprit que les carrés latins avaient un intérêt pratique. Il s’en servit pour révolutionner
les méthodes agricoles de son époque au centre de recherche de Rothamsted situé
dans le Hertfordshire, au Royaume-Uni.
Le but de Fisher était d’étudier l’efficacité des engrais sur les productions. Dans
l’idéal, on aimerait que les cultures soient plantées dans des sols identiques de sorte
que la qualité du sol ne soit pas un facteur indésirable qui pourrait modifier la
production. On pourrait donc appliquer les différents engrais en toute tranquillité
174
On trouve une autre interprétation du carré dans le « problème des neuf officiers »,
problème historique dans lequel neuf officiers appartenant à trois régiments a, b et
c et de grades différents A, B et C sont placés sur un terrain de manœuvres de sorte
que chaque ligne et chaque colonne contiennent un officier de chaque régiment
et de grade différent. Les carrés latins de ce type sont dits « orthogonaux ». Le cas
du carré 3 × 3 est simple mais trouver des paires de carrés latins orthogonaux pour
construire de plus grands carrés est loin d’être facile. Il fallait tout le génie d’Euler
pour y parvenir.
Dans le cas du carré latin 4 × 4, un « problème de 16 officiers » consisterait à arranger
les 16 figures d’un jeu de cartes dans un carré de sorte qu’il y ait une valeur (As, Roi,
Dame, ou Valet) et une couleur (pique, trèfle, cœur, ou carreau) dans chaque ligne et
dans chaque colonne. En 1782, Euler a posé le même problème pour « 36 officiers ».
Cela revenait à rechercher deux carrés orthogonaux d’ordre 6. Il ne parvint pas à
les trouver et conjectura qu’il n’existait aucune paire de carrés latins orthogonaux
d’ordre 6, 10, 14, 18, 22, … Peut-on le prouver ?
Vint ensuite Gaston Tarry, mathématicien amateur qui était fonctionnaire en
Algérie. Il examina soigneusement quelques exemples et en 1900 avait vérifié la
conjecture d’Euler pour un cas : il n’existe pas de paire de carrés latins orthogonaux
d’ordre 6. Les mathématiciens pensèrent tout naturellement qu’Euler avait raison
pour les autres cas d’ordre 10, 14, 18, 22, …
En 1960, les efforts combinés de trois mathématiciens stupéfièrent le monde mathématique en prouvant qu’Euler s’était trompé pour tous les autres cas. Raj Bose,
Ernest Parker et Sharadchandra Shrikhande prouvèrent qu’il y avait bien des paires
de carrés latins orthogonaux d’ordre 10, 14, 18, 22, … Le seul et unique cas où les
carrés latins n’existent pas (mis à part les carrés sans intérêt d’ordre 1 et 2) est celui
d’ordre 6.
Nous avons vu qu’il existe deux carrés latins d’ordre 3 mutuellement orthogonaux.
Pour l’ordre 4, on peut produire trois carrés mutuellement orthogonaux. On peut
montrer qu’il n’y a jamais plus de n – 1 carrés latins mutuellement orthogonaux
d’ordre n, et donc pour n = 10, par exemple, il ne peut y avoir plus de neuf carrés
mutuellement orthogonaux mais les trouver est une autre paire de manches. À ce
jour, personne n’a réussi à produire ne serait-ce que trois carrés latins mutuellement
orthogonaux d’ordre 10.
À quoi servent les carrés latins ? R. A. Fisher, éminent statisticien, comprit que les carrés latins avaient un intérêt pratique. Il s’en servit pour révolutionner
les méthodes agricoles de son époque au centre de recherche de Rothamsted situé
dans le Hertfordshire, au Royaume-Uni.
Le but de Fisher était d’étudier l’efficacité des engrais sur les productions. Dans
l’idéal, on aimerait que les cultures soient plantées dans des sols identiques de sorte
que la qualité du sol ne soit pas un facteur indésirable qui pourrait modifier la
production. On pourrait donc appliquer les différents engrais en toute tranquillité