50 clés pour comprendre les maths
170
d’ordre 2 qui constituent le carré complet 4 × 4. Dürer
a même réussi à signer son chef-d’œuvre en notant la
date de l’achèvement de son œuvre au milieu de la ligne
inférieure.
Le scientifique et diplomate américain Benjamin
Franklin comprit que construire des carrés magiques
était un moyen utile de s’aiguiser l’esprit. C’était un
expert en la matière, et aujourd’hui encore, les mathématiciens ne savent pas très bien comment il s’y prenait ; les grands carrés magiques ne peuvent pas être le
fruit d’une heureuse coïncidence. Franklin confessa que,
dans sa jeunesse, il avait consacré beaucoup de temps à
cette activité malgré son peu d’attirance pour « l’Arithmétik » à l’école. Voici une de ses créations de jeunesse.
Dans ce carré magique normal, il y a toutes sortes de symétries. La somme de toutes
les lignes, colonnes et diagonales est égale à 260, de même que celle des « arcs »,
dont un exemple a été grisé sur le dessin. Beaucoup d’autres choses restent à découvrir, comme le fait que la somme du carré central 2 × 2 ajoutée à la somme des cases
des quatre coins est aussi égale à 260. Regardez bien, et vous trouverez un résultat
intéressant pour chaque carré 2 × 2.
Carrés de carrés Les cases de certains carrés magiques peuvent
être occupées par des carrés parfaits. Le problème que pose leur
construction a été présenté par le mathématicien français Edouard
Lucas en 1876. À ce jour, aucun carré 3 × 3 constitué de carrés parfaits
n’a pu être trouvé, même s’il s’en est fallu de peu.
Toutes les lignes, colonnes ainsi qu’une diagonale de ce carré ont pour
somme magique 21 609 mais l’autre diagonale ne donne pas ce résultat
puisque 127
2 + 113
2 + 97
2 = 38 307. Si vous avez envie de trouver un tel
carré par vous-même, vous devriez noter ce résultat prouvé : la valeur de la case centrale doit être supérieure à 2,5 × 10
25 et il ne sert donc à rien de chercher à construire
un carré avec de petits nombres ! Ce sont là des mathématiques solides qui ont un lien
avec les courbes elliptiques, outils qui permettent de démontrer le grand théorème de
Fermat. On a prouvé qu’il n’existe aucun carré magique 3 × 3 dont les entrées sont des
cubes ou des puissances quatrièmes.
La recherche de carrés de carrés parfaits s’est malgré tout révélée fructueuse pour
des carrés plus grands. Des carrés magiques 4 × 4 et 5 × 5 constitués de carrés parfaits existent bel et bien. En 1770, Euler en produisit un exemple sans expliquer sa
méthode de construction. Des familles complètes de ces carrés furent découvertes
depuis lors qui ont un lien avec l’étude de l’algèbre des quaternions, nombres imaginaires à quatre dimensions.
Les carrés magiques exotiques Il se peut que les grands carrés magiques
aient des propriétés spectaculaires. Une grille de 32 × 32 a été produite par l’expert
127
2
46
2
58
2
2
2
113
2
94
2
74
2
82
2
97
2
52 61 4 13 20 19 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17
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d’ordre 2 qui constituent le carré complet 4 × 4. Dürer
a même réussi à signer son chef-d’œuvre en notant la
date de l’achèvement de son œuvre au milieu de la ligne
inférieure.
Le scientifique et diplomate américain Benjamin
Franklin comprit que construire des carrés magiques
était un moyen utile de s’aiguiser l’esprit. C’était un
expert en la matière, et aujourd’hui encore, les mathématiciens ne savent pas très bien comment il s’y prenait ; les grands carrés magiques ne peuvent pas être le
fruit d’une heureuse coïncidence. Franklin confessa que,
dans sa jeunesse, il avait consacré beaucoup de temps à
cette activité malgré son peu d’attirance pour « l’Arithmétik » à l’école. Voici une de ses créations de jeunesse.
Dans ce carré magique normal, il y a toutes sortes de symétries. La somme de toutes
les lignes, colonnes et diagonales est égale à 260, de même que celle des « arcs »,
dont un exemple a été grisé sur le dessin. Beaucoup d’autres choses restent à découvrir, comme le fait que la somme du carré central 2 × 2 ajoutée à la somme des cases
des quatre coins est aussi égale à 260. Regardez bien, et vous trouverez un résultat
intéressant pour chaque carré 2 × 2.
Carrés de carrés Les cases de certains carrés magiques peuvent
être occupées par des carrés parfaits. Le problème que pose leur
construction a été présenté par le mathématicien français Edouard
Lucas en 1876. À ce jour, aucun carré 3 × 3 constitué de carrés parfaits
n’a pu être trouvé, même s’il s’en est fallu de peu.
Toutes les lignes, colonnes ainsi qu’une diagonale de ce carré ont pour
somme magique 21 609 mais l’autre diagonale ne donne pas ce résultat
puisque 127
2 + 113
2 + 97
2 = 38 307. Si vous avez envie de trouver un tel
carré par vous-même, vous devriez noter ce résultat prouvé : la valeur de la case centrale doit être supérieure à 2,5 × 10
25 et il ne sert donc à rien de chercher à construire
un carré avec de petits nombres ! Ce sont là des mathématiques solides qui ont un lien
avec les courbes elliptiques, outils qui permettent de démontrer le grand théorème de
Fermat. On a prouvé qu’il n’existe aucun carré magique 3 × 3 dont les entrées sont des
cubes ou des puissances quatrièmes.
La recherche de carrés de carrés parfaits s’est malgré tout révélée fructueuse pour
des carrés plus grands. Des carrés magiques 4 × 4 et 5 × 5 constitués de carrés parfaits existent bel et bien. En 1770, Euler en produisit un exemple sans expliquer sa
méthode de construction. Des familles complètes de ces carrés furent découvertes
depuis lors qui ont un lien avec l’étude de l’algèbre des quaternions, nombres imaginaires à quatre dimensions.
Les carrés magiques exotiques Il se peut que les grands carrés magiques
aient des propriétés spectaculaires. Une grille de 32 × 32 a été produite par l’expert
127
2
46
2
58
2
2
2
113
2
94
2
74
2
82
2
97
2
52 61 4 13 20 19 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17