Les carrés magiques 169
1770
Euler produit un carré
de carrés parfaits.
1986
Sallows crée un carré
à partir de lettres.
1693
Bernard Frénicle
de Bessy dresse la liste
des 880 carrés magiques
possibles d’ordre 4.
Examinons maintenant la case du milieu, que nous appellerons c. Deux diagonales
contiennent c, de même que la ligne du milieu et la colonne du milieu. Si l’on fait
la somme totale de ces quatre lignes, on obtient 15 + 15 + 15 + 15 = 60 et cette
somme doit être égale à la somme de tous les nombres à laquelle s’ajoute 3c.
L’équation 3c + 45 = 60 ainsi obtenue nous permet de déduire que c doit être égal à
5. On apprend aussi qu’il est impossible de placer le chiffre 1 dans une case de coin.
Après avoir réuni quelques indices, nous sommes en mesure d’utiliser la méthode
par tâtonnement. Allez-y, essayez !
Bien sûr, on aimerait disposer d’une méthode totalement rigoureuse pour
construire des carrés magiques. Simon de La Loubère, ambassadeur français
du roi de Siam à la fin du xvii
e siècle, en trouva une. La Loubère s’intéressait
aux mathématiques chinoises et rédigea une méthode pour construire des
carrés magiques constitués d’un nombre impair de lignes et de colonnes. On
commence en plaçant le chiffre 1 au milieu de la ligne inférieure, puis l’on
suit « la diagonale et on revient de l’autre côté de la grille si nécessaire » pour
noter le 2 et les nombres qui suivent. Si la case est occupée, on place le nombre
suivant au-dessus de la dernière case remplie.
Fait notable, ce carré magique normal est absolument le seul à être constitué de
3 lignes et 3 colonnes. Tous les autres carrés magiques 3 × 3 peuvent s’obtenir à
partir de celui-ci par une rotation des nombres par rapport au milieu et/ou par
symétrie des nombres par rapport à la colonne du milieu ou de la ligne du milieu.
Ce carré appelé carré « Lo Shu » était connu en Chine vers 3000 av. J.-C. La légende
dit qu’il a d’abord été repéré sur la carapace d’une tortue qui sortait du fleuve Lo.
Les habitants du lieu y virent un signe des dieux qui leur signifiaient que la peste
continuerait à sévir s’ils ne faisaient pas davantage d’offrandes.
S’il existe un seul carré magique 3 × 3, combien de carrés magiques d’ordre 4 existet-il ? La réponse va vous stupéfier : il en existe 880 différents (et accrochez-vous, il
y en a 2 202 441 792 d’ordre 5). On ne sait pas combien il existe de carrés pour des
valeurs générales de n.
Les carrés de Dürer et de Franklin Le carré magique Lo Shu est réputé
pour être à la fois unique et chargé d’histoire, mais il existe un carré
magique d’ordre 4 × 4 qui est devenu une véritable icône en raison de
son lien avec un artiste célèbre. Ce carré est également pourvu d’un bien
plus grand nombre de propriétés que certains des 880 carrés magiques
4 × 4 ordinaires. Il s’agit du carré 4 × 4 représenté en 1514 sur la gravure
Melancholia d’Albrecht Dürer.
Dans ce carré de Dürer, la somme de toutes les lignes est égale à 34, et il
en va de même pour la somme des colonnes, diagonales, et petits carrés
8
1
6
3
5
7
4
9
2
Une solution
pour le carré
d’ordre 3 par
la méthode
siamoise
1770
Euler produit un carré
de carrés parfaits.
1986
Sallows crée un carré
à partir de lettres.
1693
Bernard Frénicle
de Bessy dresse la liste
des 880 carrés magiques
possibles d’ordre 4.
Examinons maintenant la case du milieu, que nous appellerons c. Deux diagonales
contiennent c, de même que la ligne du milieu et la colonne du milieu. Si l’on fait
la somme totale de ces quatre lignes, on obtient 15 + 15 + 15 + 15 = 60 et cette
somme doit être égale à la somme de tous les nombres à laquelle s’ajoute 3c.
L’équation 3c + 45 = 60 ainsi obtenue nous permet de déduire que c doit être égal à
5. On apprend aussi qu’il est impossible de placer le chiffre 1 dans une case de coin.
Après avoir réuni quelques indices, nous sommes en mesure d’utiliser la méthode
par tâtonnement. Allez-y, essayez !
Bien sûr, on aimerait disposer d’une méthode totalement rigoureuse pour
construire des carrés magiques. Simon de La Loubère, ambassadeur français
du roi de Siam à la fin du xvii
e siècle, en trouva une. La Loubère s’intéressait
aux mathématiques chinoises et rédigea une méthode pour construire des
carrés magiques constitués d’un nombre impair de lignes et de colonnes. On
commence en plaçant le chiffre 1 au milieu de la ligne inférieure, puis l’on
suit « la diagonale et on revient de l’autre côté de la grille si nécessaire » pour
noter le 2 et les nombres qui suivent. Si la case est occupée, on place le nombre
suivant au-dessus de la dernière case remplie.
Fait notable, ce carré magique normal est absolument le seul à être constitué de
3 lignes et 3 colonnes. Tous les autres carrés magiques 3 × 3 peuvent s’obtenir à
partir de celui-ci par une rotation des nombres par rapport au milieu et/ou par
symétrie des nombres par rapport à la colonne du milieu ou de la ligne du milieu.
Ce carré appelé carré « Lo Shu » était connu en Chine vers 3000 av. J.-C. La légende
dit qu’il a d’abord été repéré sur la carapace d’une tortue qui sortait du fleuve Lo.
Les habitants du lieu y virent un signe des dieux qui leur signifiaient que la peste
continuerait à sévir s’ils ne faisaient pas davantage d’offrandes.
S’il existe un seul carré magique 3 × 3, combien de carrés magiques d’ordre 4 existet-il ? La réponse va vous stupéfier : il en existe 880 différents (et accrochez-vous, il
y en a 2 202 441 792 d’ordre 5). On ne sait pas combien il existe de carrés pour des
valeurs générales de n.
Les carrés de Dürer et de Franklin Le carré magique Lo Shu est réputé
pour être à la fois unique et chargé d’histoire, mais il existe un carré
magique d’ordre 4 × 4 qui est devenu une véritable icône en raison de
son lien avec un artiste célèbre. Ce carré est également pourvu d’un bien
plus grand nombre de propriétés que certains des 880 carrés magiques
4 × 4 ordinaires. Il s’agit du carré 4 × 4 représenté en 1514 sur la gravure
Melancholia d’Albrecht Dürer.
Dans ce carré de Dürer, la somme de toutes les lignes est égale à 34, et il
en va de même pour la somme des colonnes, diagonales, et petits carrés
8
1
6
3
5
7
4
9
2
Une solution
pour le carré
d’ordre 3 par
la méthode
siamoise