50 clés pour comprendre les maths
168
chronologie
Vers 2800 av. J.-C.
La légende du carré de Lo Shu voit
le jour.
Vers 1690 ap. J.-C.
De La Loubère produit la méthode siamoise
de construction des carrés magiques.
42 Les carrés
magiques
« Le mathématicien », écrivait G. H. Hardy, « à l’instar du peintre ou du poète, crée
des formes ». Les carrés magiques présentent des formes très curieuses, même
d’un point de vue mathématique. Elles se situent quelque part entre ces formules
mathématiques chargées de symboles et ces figures fascinantes dont raffolent les
créateurs de casse-tête.
Un carré magique est une grille carrée divisée en cases, où sont disposés des entiers
distincts de manière à ce que la somme sur chaque ligne horizontale, verticale (ou
colonne) mais aussi sur chaque diagonale soit identique.
Les carrés constitués d’une seule ligne et d’une seule colonne sont, techniquement parlant, des carrés magiques, mais ils présentent trop peu
d’intérêt pour que l’on s’y attarde. Il n’existe pas de carré magique
constitué de deux lignes et deux colonnes. Si un tel carré existait, il prendrait la forme ci-contre. Comme la somme des lignes et la somme des
colonnes seraient égales, alors a + b = a + c. Autrement dit, b = c, ce qui va
à l’encontre de l’obligation pour les entrées d’être toutes distinctes.
Le carré Lo Shu Des carrés magiques de 2 × 2 cases (ou d’ordre 2)
n’existent pas, c’est pourquoi nous examinerons des carrés 3 × 3 pour
lesquels nous établirons des grilles. Nous commencerons avec un carré
magique normal, c’est-à-dire un carré dont les cases sont remplies avec les
chiffres consécutifs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Avec un carré si petit, on peut construire un carré magique d’ordre 3 × 3
par tâtonnement, mais on peut d’abord procéder par déductions. Si l’on
fait la somme de tous les nombres de la grille, on obtient
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
et ce résultat doit être égal à la somme des 3 lignes. Cela montre que la somme de
chaque ligne (ainsi que la somme de chaque colonne et diagonale) est égale à 15.
a
b
c
d
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chronologie
Vers 2800 av. J.-C.
La légende du carré de Lo Shu voit
le jour.
Vers 1690 ap. J.-C.
De La Loubère produit la méthode siamoise
de construction des carrés magiques.
42 Les carrés
magiques
« Le mathématicien », écrivait G. H. Hardy, « à l’instar du peintre ou du poète, crée
des formes ». Les carrés magiques présentent des formes très curieuses, même
d’un point de vue mathématique. Elles se situent quelque part entre ces formules
mathématiques chargées de symboles et ces figures fascinantes dont raffolent les
créateurs de casse-tête.
Un carré magique est une grille carrée divisée en cases, où sont disposés des entiers
distincts de manière à ce que la somme sur chaque ligne horizontale, verticale (ou
colonne) mais aussi sur chaque diagonale soit identique.
Les carrés constitués d’une seule ligne et d’une seule colonne sont, techniquement parlant, des carrés magiques, mais ils présentent trop peu
d’intérêt pour que l’on s’y attarde. Il n’existe pas de carré magique
constitué de deux lignes et deux colonnes. Si un tel carré existait, il prendrait la forme ci-contre. Comme la somme des lignes et la somme des
colonnes seraient égales, alors a + b = a + c. Autrement dit, b = c, ce qui va
à l’encontre de l’obligation pour les entrées d’être toutes distinctes.
Le carré Lo Shu Des carrés magiques de 2 × 2 cases (ou d’ordre 2)
n’existent pas, c’est pourquoi nous examinerons des carrés 3 × 3 pour
lesquels nous établirons des grilles. Nous commencerons avec un carré
magique normal, c’est-à-dire un carré dont les cases sont remplies avec les
chiffres consécutifs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Avec un carré si petit, on peut construire un carré magique d’ordre 3 × 3
par tâtonnement, mais on peut d’abord procéder par déductions. Si l’on
fait la somme de tous les nombres de la grille, on obtient
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
et ce résultat doit être égal à la somme des 3 lignes. Cela montre que la somme de
chaque ligne (ainsi que la somme de chaque colonne et diagonale) est égale à 15.
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