Les codes 163
La division de ce nombre gigantesque par 247 donne donc un reste de 120. Le
message chiffré de Sender est 120, information qu’il transmet à Receiver. Parce
que les nombres 247 et 5 sont accessibles à tous, n’importe qui pourrait chiffrer un
message. Mais tout le monde ne pourrait le décrypter. Le Dr R. Receiver a certainement quelque chose d’autre en réserve. Il a constitué son numéro personnel 247
en multipliant deux nombres premiers. Dans ce cas, il a obtenu le nombre 247 en
multipliant p = 13 par q = 19, mais il est le seul à le savoir.
C’est là que l’on ressort et dépoussière le vieux théorème que l’on doit à Leonhard
Euler. Le Dr R. Receiveur utilise p = 13 et q = 19 pour trouver une valeur de a telle
que
a × 5 ≡ 1 (mod(p – 1)(q – 1))
où le symbole ≡ signifie égal en arithmétique modulaire. Quelle est la valeur de
a telle que diviser 5 × a par 12 × 18 = 216 donne un reste de 1 ? Il trouve a = 173.
Parce qu’il est le seul à connaître les nombres premiers p et q, le Dr Receiver est le
seul à pouvoir calculer le nombre 173. Il trouve alors le reste en divisant le gigantesque nombre 120
173 par 247. Cela dépasse les capacités d’une simple calculatrice
mais on peut facilement calculer ce résultat sur un ordinateur. On trouve 74, comme
le savait Euler 200 ans auparavant. Muni de ce renseignement, Receiver cherche le
mot 74 et voit que « J » est de retour en ville.
Vous allez peut-être dire qu’un pirate informatique pourrait sûrement découvrir
que 247 = 13 × 19 et que le code serait alors décrypté. Vous auriez raison. Mais les
principes de chiffrement et de déchiffrement seraient identiques si le Dr Receiver
avait utilisé un autre nombre que 247. Il pourrait choisir deux très gros nombres
premiers et en faire le produit pour obtenir un nombre supérieur à 247.
Trouver les deux facteurs premiers d’un très grand nombre est virtuellement
impossible – quels sont les facteurs de 24 812 789 922 307 par exemple ? Mais on
pourrait aussi choisir des nombres bien supérieurs à celui-là. Le chiffrement à clé
publique est fiable et si la puissance de plusieurs super-ordinateurs réunie permet de
décomposer une clé de chiffrement en produits de deux facteurs premiers, il suffit
au Dr Receiver de prendre un nombre supérieur encore. Pour finir, il est considérablement plus facile pour le Dr Receiver de « mélanger des boîtes de sable noir et de
sable blanc » que pour un pirate informatique de trier les grains de sable.
l’idée clé
Garder
des messages secrets
La division de ce nombre gigantesque par 247 donne donc un reste de 120. Le
message chiffré de Sender est 120, information qu’il transmet à Receiver. Parce
que les nombres 247 et 5 sont accessibles à tous, n’importe qui pourrait chiffrer un
message. Mais tout le monde ne pourrait le décrypter. Le Dr R. Receiver a certainement quelque chose d’autre en réserve. Il a constitué son numéro personnel 247
en multipliant deux nombres premiers. Dans ce cas, il a obtenu le nombre 247 en
multipliant p = 13 par q = 19, mais il est le seul à le savoir.
C’est là que l’on ressort et dépoussière le vieux théorème que l’on doit à Leonhard
Euler. Le Dr R. Receiveur utilise p = 13 et q = 19 pour trouver une valeur de a telle
que
a × 5 ≡ 1 (mod(p – 1)(q – 1))
où le symbole ≡ signifie égal en arithmétique modulaire. Quelle est la valeur de
a telle que diviser 5 × a par 12 × 18 = 216 donne un reste de 1 ? Il trouve a = 173.
Parce qu’il est le seul à connaître les nombres premiers p et q, le Dr Receiver est le
seul à pouvoir calculer le nombre 173. Il trouve alors le reste en divisant le gigantesque nombre 120
173 par 247. Cela dépasse les capacités d’une simple calculatrice
mais on peut facilement calculer ce résultat sur un ordinateur. On trouve 74, comme
le savait Euler 200 ans auparavant. Muni de ce renseignement, Receiver cherche le
mot 74 et voit que « J » est de retour en ville.
Vous allez peut-être dire qu’un pirate informatique pourrait sûrement découvrir
que 247 = 13 × 19 et que le code serait alors décrypté. Vous auriez raison. Mais les
principes de chiffrement et de déchiffrement seraient identiques si le Dr Receiver
avait utilisé un autre nombre que 247. Il pourrait choisir deux très gros nombres
premiers et en faire le produit pour obtenir un nombre supérieur à 247.
Trouver les deux facteurs premiers d’un très grand nombre est virtuellement
impossible – quels sont les facteurs de 24 812 789 922 307 par exemple ? Mais on
pourrait aussi choisir des nombres bien supérieurs à celui-là. Le chiffrement à clé
publique est fiable et si la puissance de plusieurs super-ordinateurs réunie permet de
décomposer une clé de chiffrement en produits de deux facteurs premiers, il suffit
au Dr Receiver de prendre un nombre supérieur encore. Pour finir, il est considérablement plus facile pour le Dr Receiver de « mélanger des boîtes de sable noir et de
sable blanc » que pour un pirate informatique de trier les grains de sable.
l’idée clé
Garder
des messages secrets