50 clés pour comprendre les maths
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longs hautement performants au niveau de la correction d’erreurs, il faut plus de
temps pour transmettre les messages et il y a donc une corrélation entre la longueur
des mots de code et la vitesse de transmission. Lors des voyages dans l’espace effectués par la NASA, on se sert de codes capables de détecter trois erreurs et suffisamment efficaces pour combattre les bruits parasites.
Coder des messages César se servait de codes pour communiquer avec ses
généraux et leur transmettre des messages secrets qu’il rédigeait en substituant
chaque lettre par une autre lettre selon une clé que lui seul et ses généraux connaissaient. Si la clé tombait entre de mauvaises mains, ses messages pouvaient être
déchiffrés par ses ennemis. À l’époque médiévale, Marie, Reine d’Écosse, envoyait
des messages secrets codés depuis sa cellule de prison. Marie avait en tête de renverser sa cousine, la Reine Élizabeth, mais ses messages codés furent interceptés.
Plus sophistiqués que le système de codage romain qui consistait à décaler toutes
les lettres de l’alphabet d’un certain nombre de positions, ses messages codés reposaient sur des substitutions dont la solution pouvait être découverte par une analyse
de la fréquence des lettres et des symboles utilisés. Pendant la Deuxième Guerre
Mondiale, le code allemand de la machine Enigma fut déchiffré grâce à la découverte de sa clé. Ce fut extrêmement difficile même si le code restait vulnérable
puisque la clé faisait partie du message transmis.
On fit une découverte surprenante en matière de cryptographie dans les années
1970. À l’inverse de tout ce que l’on avait cru jusque-là, on apprenait que la clé
secrète pouvait être diffusée à tous et que le message pouvait cependant rester parfaitement sûr. C’est ce que l’on appelle le chiffrement à clé publique. La méthode
dépend d’un théorème vieux de 200 ans utilisé dans une branche des mathématiques célébrée pour être la plus utile de toutes.
Le chiffrement à clé publique M. John Sender, agent secret connu dans le
milieu des espions sous le pseudonyme « J », vient d’arriver en ville et veut envoyer
à son contact le Dr Rodney Receiver un message secret pour annoncer son arrivée.
Son comportement est plutôt curieux. Il se rend à la bibliothèque municipale, prend
sur une étagère un répertoire de la ville et cherche le nom du Dr R. Receiver. Deux
numéros se trouvent à côté du nom Receiver, un long, 247, et un court, 5. Ce renseignement est accessible à n’importe qui, et c’est tout ce dont John Sender a besoin
pour coder son message qui est, par souci de simplicité, l’initiale de son prénom. La
lettre « J » vient en 74e position dans une liste de mots, qui est elle aussi accessible
à tous.
Sender chiffre le numéro 74 en calculant 74
5 modulo 247, autrement dit, il veut
connaître le reste de la division de 74
5 par 247. Une simple calculatrice peut le faire,
mais il faut travailler avec précision :
74
5 = 74 × 74 × 74 × 74 × 74 = 2 219 006 624
et
2 219 006 624 = 8 983 832 × 247 + 120
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longs hautement performants au niveau de la correction d’erreurs, il faut plus de
temps pour transmettre les messages et il y a donc une corrélation entre la longueur
des mots de code et la vitesse de transmission. Lors des voyages dans l’espace effectués par la NASA, on se sert de codes capables de détecter trois erreurs et suffisamment efficaces pour combattre les bruits parasites.
Coder des messages César se servait de codes pour communiquer avec ses
généraux et leur transmettre des messages secrets qu’il rédigeait en substituant
chaque lettre par une autre lettre selon une clé que lui seul et ses généraux connaissaient. Si la clé tombait entre de mauvaises mains, ses messages pouvaient être
déchiffrés par ses ennemis. À l’époque médiévale, Marie, Reine d’Écosse, envoyait
des messages secrets codés depuis sa cellule de prison. Marie avait en tête de renverser sa cousine, la Reine Élizabeth, mais ses messages codés furent interceptés.
Plus sophistiqués que le système de codage romain qui consistait à décaler toutes
les lettres de l’alphabet d’un certain nombre de positions, ses messages codés reposaient sur des substitutions dont la solution pouvait être découverte par une analyse
de la fréquence des lettres et des symboles utilisés. Pendant la Deuxième Guerre
Mondiale, le code allemand de la machine Enigma fut déchiffré grâce à la découverte de sa clé. Ce fut extrêmement difficile même si le code restait vulnérable
puisque la clé faisait partie du message transmis.
On fit une découverte surprenante en matière de cryptographie dans les années
1970. À l’inverse de tout ce que l’on avait cru jusque-là, on apprenait que la clé
secrète pouvait être diffusée à tous et que le message pouvait cependant rester parfaitement sûr. C’est ce que l’on appelle le chiffrement à clé publique. La méthode
dépend d’un théorème vieux de 200 ans utilisé dans une branche des mathématiques célébrée pour être la plus utile de toutes.
Le chiffrement à clé publique M. John Sender, agent secret connu dans le
milieu des espions sous le pseudonyme « J », vient d’arriver en ville et veut envoyer
à son contact le Dr Rodney Receiver un message secret pour annoncer son arrivée.
Son comportement est plutôt curieux. Il se rend à la bibliothèque municipale, prend
sur une étagère un répertoire de la ville et cherche le nom du Dr R. Receiver. Deux
numéros se trouvent à côté du nom Receiver, un long, 247, et un court, 5. Ce renseignement est accessible à n’importe qui, et c’est tout ce dont John Sender a besoin
pour coder son message qui est, par souci de simplicité, l’initiale de son prénom. La
lettre « J » vient en 74e position dans une liste de mots, qui est elle aussi accessible
à tous.
Sender chiffre le numéro 74 en calculant 74
5 modulo 247, autrement dit, il veut
connaître le reste de la division de 74
5 par 247. Une simple calculatrice peut le faire,
mais il faut travailler avec précision :
74
5 = 74 × 74 × 74 × 74 × 74 = 2 219 006 624
et
2 219 006 624 = 8 983 832 × 247 + 120