50 clés pour comprendre les maths
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les volumes par unité 7, 4, 1, 5 de chacune des unités des produits, d’un seul coup,
on peut calculer les profits et les besoins en stockage pour les trois usines grâce à
une seule multiplication des matrices :
7 5 0 1
68 74
0 4 3 7
7 4 54
3 2 0 2
3 1 39
×
=
3 7
9 4
8 1
2 5
Le stockage total est fourni par la deuxième colonne de la matrice obtenue, 74, 54 et
39. La théorie des matrices est très puissante. Imaginez la situation d’une entreprise
qui a des centaines d’usines, des milliers de produits, des profits par unité et des
besoins en stockage différents selon les semaines. Avec l’algèbre des matrices, les
calculs, ainsi que notre compréhension, sont pratiquement immédiats et ce, sans
avoir à s’inquiéter des détails.
L’algèbre matricielle contre l’algèbre ordinaire On peut établir de
nombreux parallèles entre l’algèbre matricielle et l’algèbre ordinaire. La différence la
plus connue se trouve au niveau du produit des matrices. Si l’on multiplie la matrice
A par la matrice B puis si on inverse les termes, on obtient :
=
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
=
×
=
×
20
18
58
41
8
1
6
2
4
1
7
2
8
5
6
3
4
5
7
3
8
4
6
7
1
2
5
3
B
A
=
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
=
×
=
×
28
28
41
33
1
8
5
4
2
8
3
4
1
6
5
7
2
6
3
7
1
2
5
3
8
4
6
7
A
B
Dans l’algèbre matricielle, on peut donc avoir A × B et B × A qui donnent des résultats différents, situation qui ne se produit pas en algèbre ordinaire où l’ordre des
termes de la multiplication n’a pas d’importance.
Une autre différence se produit avec les inverses. En algèbre ordinaire, les inverses
sont faciles à calculer. Si a = 7 sont inverse est 1/7 parce que 1/7 × 7 = 1. On écrit
parfois l’inverse comme suit : a
–1 = 7 et on a donc a
–1 × a = 1
Voici un exemple de la théorie des matrices :
1 2
3 7
A
=
et on peut vérifier que
1
7
2
3 1
A
−
−
=
−
car
=
×
−
−
=
×
−
1
0
0
1
7
3
2
1
1
3
2
7
1
A
A
où
1 0
0 1
I
=
s’appelle la matrice identité et est le pendant de 1 en algèbre ordinaire. En algèbre
ordinaire, seul 0 n’a pas d’inverse mais en algèbre matricielle, de nombreuses
matrices n’ont pas d’inverse.
Projets de voyage On trouve un autre exemple de l’utilisation des matrices
dans l’analyse des réseaux aériens. Cela concerne à la fois les grandes plaques tournantes du transport aérien et les aéroports plus petits. En pratique, des centaines de
destinations peuvent être concernées, et nous allons en voir un exemple : les grands
aéroports de Londres (L) et Paris (P), et les aéroports plus petits d’Édimbourg (E),
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les volumes par unité 7, 4, 1, 5 de chacune des unités des produits, d’un seul coup,
on peut calculer les profits et les besoins en stockage pour les trois usines grâce à
une seule multiplication des matrices :
7 5 0 1
68 74
0 4 3 7
7 4 54
3 2 0 2
3 1 39
×
=
3 7
9 4
8 1
2 5
Le stockage total est fourni par la deuxième colonne de la matrice obtenue, 74, 54 et
39. La théorie des matrices est très puissante. Imaginez la situation d’une entreprise
qui a des centaines d’usines, des milliers de produits, des profits par unité et des
besoins en stockage différents selon les semaines. Avec l’algèbre des matrices, les
calculs, ainsi que notre compréhension, sont pratiquement immédiats et ce, sans
avoir à s’inquiéter des détails.
L’algèbre matricielle contre l’algèbre ordinaire On peut établir de
nombreux parallèles entre l’algèbre matricielle et l’algèbre ordinaire. La différence la
plus connue se trouve au niveau du produit des matrices. Si l’on multiplie la matrice
A par la matrice B puis si on inverse les termes, on obtient :
=
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
=
×
=
×
20
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8
1
6
2
4
1
7
2
8
5
6
3
4
5
7
3
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B
A
=
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
=
×
=
×
28
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1
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5
4
2
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3
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6
5
7
2
6
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7
1
2
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8
4
6
7
A
B
Dans l’algèbre matricielle, on peut donc avoir A × B et B × A qui donnent des résultats différents, situation qui ne se produit pas en algèbre ordinaire où l’ordre des
termes de la multiplication n’a pas d’importance.
Une autre différence se produit avec les inverses. En algèbre ordinaire, les inverses
sont faciles à calculer. Si a = 7 sont inverse est 1/7 parce que 1/7 × 7 = 1. On écrit
parfois l’inverse comme suit : a
–1 = 7 et on a donc a
–1 × a = 1
Voici un exemple de la théorie des matrices :
1 2
3 7
A
=
et on peut vérifier que
1
7
2
3 1
A
−
−
=
−
car
=
×
−
−
=
×
−
1
0
0
1
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3
2
1
1
3
2
7
1
A
A
où
1 0
0 1
I
=
s’appelle la matrice identité et est le pendant de 1 en algèbre ordinaire. En algèbre
ordinaire, seul 0 n’a pas d’inverse mais en algèbre matricielle, de nombreuses
matrices n’ont pas d’inverse.
Projets de voyage On trouve un autre exemple de l’utilisation des matrices
dans l’analyse des réseaux aériens. Cela concerne à la fois les grandes plaques tournantes du transport aérien et les aéroports plus petits. En pratique, des centaines de
destinations peuvent être concernées, et nous allons en voir un exemple : les grands
aéroports de Londres (L) et Paris (P), et les aéroports plus petits d’Édimbourg (E),