Les matrices 157
1878
Georg Frobenius prouve certains résultats clés
de l’algèbre matricielle.
1925
Heisenberg utilise la mécanique des matrices
dans la mécanique quantique.
Un exemple concret Supposons que la matrice A représente la production de
l’entreprise AJAX en une semaine. L’entreprise AJAX possède trois usines, situées en
divers endroits du pays, dont les productions se mesurent en unités (par exemple
en milliers d’articles) des quatre produits qu’elle fabrique. Dans notre exemple, les
quantités qui correspondent à la matrice A sont :
produit 1 produit 2 produit 3 produit 4
Usine 1
7
5
0
1
Usine 2
0
4
3
7
Usine 3
3
2
0
2
La semaine suivante, le programme de production peut être différent, mais il peut
s’écrire sous la forme d’une nouvelle matrice B. Par exemple, B correspondrait à
9 4 1 0
0 5 1 8 .
4 1 1 0
B
=
Quel est le total de la production pour les deux semaines ? Le théoricien des matrices
dit que c’est égal à la somme des matrices A + B où les nombres correspondants sont
tous additionnés.
7 9 5 4 0 1 1 0
16 9 1 1
0 0 4 5 3 1 7 8
0 9 4 15
3 4 2 1 0 1 2 0
7 3 1 2
A B
+
+
+
+
+ = +
+
+
+ =
+
+
+
+
Facile. Malheureusement, la multiplication des matrices est moins évidente. Si l’on
retourne à l’entreprise AJAX, on suppose que les profits par unité de ses quatre
produits sont de 3, 9, 8, 2. On peut certainement calculer le bénéfice global pour
l’Usine 1 dont les productions des quatre produits sont de 7, 5, 0, 1. Cela donne
7 × 3 + 5 × 9 + 0 × 8 + 1 × 2 = 68.
Mais plutôt que de ne s’occuper que d’une usine, on peut tout aussi facilement
calculer le total T des profits pour toutes les usines :
7 5 0 1
7
5
0
1
6 8
0 4 3 7
0
4
3
7
74
3 2 0 2
3
2
0
2
31
T
× + × + × + ×
=
×
= × + × + × + × =
× + × + × + ×
3
3
9
8
2
9
3
9
8
2
8
3
9
8
2
2
Regardez bien et vous verrez la multiplication de ligne par colonne, caractéristique
essentielle du produit des matrices. Si en plus des profits par unité on nous donne
1878
Georg Frobenius prouve certains résultats clés
de l’algèbre matricielle.
1925
Heisenberg utilise la mécanique des matrices
dans la mécanique quantique.
Un exemple concret Supposons que la matrice A représente la production de
l’entreprise AJAX en une semaine. L’entreprise AJAX possède trois usines, situées en
divers endroits du pays, dont les productions se mesurent en unités (par exemple
en milliers d’articles) des quatre produits qu’elle fabrique. Dans notre exemple, les
quantités qui correspondent à la matrice A sont :
produit 1 produit 2 produit 3 produit 4
Usine 1
7
5
0
1
Usine 2
0
4
3
7
Usine 3
3
2
0
2
La semaine suivante, le programme de production peut être différent, mais il peut
s’écrire sous la forme d’une nouvelle matrice B. Par exemple, B correspondrait à
9 4 1 0
0 5 1 8 .
4 1 1 0
B
=
Quel est le total de la production pour les deux semaines ? Le théoricien des matrices
dit que c’est égal à la somme des matrices A + B où les nombres correspondants sont
tous additionnés.
7 9 5 4 0 1 1 0
16 9 1 1
0 0 4 5 3 1 7 8
0 9 4 15
3 4 2 1 0 1 2 0
7 3 1 2
A B
+
+
+
+
+ = +
+
+
+ =
+
+
+
+
Facile. Malheureusement, la multiplication des matrices est moins évidente. Si l’on
retourne à l’entreprise AJAX, on suppose que les profits par unité de ses quatre
produits sont de 3, 9, 8, 2. On peut certainement calculer le bénéfice global pour
l’Usine 1 dont les productions des quatre produits sont de 7, 5, 0, 1. Cela donne
7 × 3 + 5 × 9 + 0 × 8 + 1 × 2 = 68.
Mais plutôt que de ne s’occuper que d’une usine, on peut tout aussi facilement
calculer le total T des profits pour toutes les usines :
7 5 0 1
7
5
0
1
6 8
0 4 3 7
0
4
3
7
74
3 2 0 2
3
2
0
2
31
T
× + × + × + ×
=
×
= × + × + × + × =
× + × + × + ×
3
3
9
8
2
9
3
9
8
2
8
3
9
8
2
2
Regardez bien et vous verrez la multiplication de ligne par colonne, caractéristique
essentielle du produit des matrices. Si en plus des profits par unité on nous donne