Les groupes 155
nécessaires. Le principe de la classification est similaire
à ce qui se fait en chimie où l’on ne s’intéresse qu’aux
éléments élémentaires et non aux composés qui en
dérivent. Le groupe de symétrie du tripode à 6 éléments
est un « composé » constitué à partir du groupe des rotations (d’ordre 3) et de celui des réflexions (d’ordre 2).
Presque tous les groupes élémentaires peuvent être
classifiés selon des classes connues. Daniel Gorenstein
annonça en 1983 que la classification, encore appelée
« le théorème énorme », était complète. C’était l’aboutissement de 30 ans d’un travail de recherche qui donna
lieu à diverses publications de la part des mathématiciens
concernés. C’est un atlas de tous les groupes connus.
Les groupes élémentaires appartiennent à quatre types
principaux, et malgré tout, on découvrit que 26 groupes
n’entrent dans aucune de ces familles. On les appelle les
groupes sporadiques.
Les groupes sporadiques sont des groupes marginaux
caractérisés par un ordre élevé. Cinq des plus petits
étaient connus d’Émile Mathieu dans les années 1860
mais la plupart des découvertes furent faites entre 1965
et 1975. Le groupe sporadique le plus petit est d’ordre 7
920 = 2
4 × 3
2 × 5 × 11, mais à chaque extrémité de ce groupe, se trouvent le « bébé
monstre » et le « monstre ». L’ordre de ce dernier est de 2
46 × 3
20 × 5
9 × 7
6 × 11
2 × 13
3
× 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 41 × 47 × 59 × 71, ce qui, dans le système décimal, est à
peu près égal à 8,08 × 10
53 ou, si vous préférez, 8 suivi de 53 zéros. C’est un nombre
énorme en effet. On peut montrer que 20 des 26 groupes sporadiques sont des
sous-groupes du « monstre », et les six groupes qui échappent à tous les systèmes de
classification sont appelés par les Anglo-Saxons les « six parias ».
Les mathématiciens cherchent à formuler les preuves dans un style concis et vigoureux, et pourtant celle de la classification des groupes finis nécessite quelque chose
comme 10 000 pages de formules minutieusement argumentées. Les progrès mathématiques ne sont pas toujours le fruit du travail d’un seul génie sublime.
l’idée clé
Mesure de la symétrie
Axiomes pour
un groupe
Un ensemble d’éléments G avec
une loi notée ° est un groupe si :
1. Il existe un élément noté 1
de G tel que 1 ° a = a ° 1 pour
tous les éléments a du groupe G
(1 s’appelle l’élément neutre)
2. Pour chaque élément a de G il
existe un élément a de G tel que
a ° a = a ° a = 1 (a s’appelle l’élément inverse de a)
3. Pour tous les éléments a, b, et
c de G, on a a ° (b ° c) = (a ° b) ° c
(c’est ce que l’on appelle l’associativité).
nécessaires. Le principe de la classification est similaire
à ce qui se fait en chimie où l’on ne s’intéresse qu’aux
éléments élémentaires et non aux composés qui en
dérivent. Le groupe de symétrie du tripode à 6 éléments
est un « composé » constitué à partir du groupe des rotations (d’ordre 3) et de celui des réflexions (d’ordre 2).
Presque tous les groupes élémentaires peuvent être
classifiés selon des classes connues. Daniel Gorenstein
annonça en 1983 que la classification, encore appelée
« le théorème énorme », était complète. C’était l’aboutissement de 30 ans d’un travail de recherche qui donna
lieu à diverses publications de la part des mathématiciens
concernés. C’est un atlas de tous les groupes connus.
Les groupes élémentaires appartiennent à quatre types
principaux, et malgré tout, on découvrit que 26 groupes
n’entrent dans aucune de ces familles. On les appelle les
groupes sporadiques.
Les groupes sporadiques sont des groupes marginaux
caractérisés par un ordre élevé. Cinq des plus petits
étaient connus d’Émile Mathieu dans les années 1860
mais la plupart des découvertes furent faites entre 1965
et 1975. Le groupe sporadique le plus petit est d’ordre 7
920 = 2
4 × 3
2 × 5 × 11, mais à chaque extrémité de ce groupe, se trouvent le « bébé
monstre » et le « monstre ». L’ordre de ce dernier est de 2
46 × 3
20 × 5
9 × 7
6 × 11
2 × 13
3
× 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 41 × 47 × 59 × 71, ce qui, dans le système décimal, est à
peu près égal à 8,08 × 10
53 ou, si vous préférez, 8 suivi de 53 zéros. C’est un nombre
énorme en effet. On peut montrer que 20 des 26 groupes sporadiques sont des
sous-groupes du « monstre », et les six groupes qui échappent à tous les systèmes de
classification sont appelés par les Anglo-Saxons les « six parias ».
Les mathématiciens cherchent à formuler les preuves dans un style concis et vigoureux, et pourtant celle de la classification des groupes finis nécessite quelque chose
comme 10 000 pages de formules minutieusement argumentées. Les progrès mathématiques ne sont pas toujours le fruit du travail d’un seul génie sublime.
l’idée clé
Mesure de la symétrie
Axiomes pour
un groupe
Un ensemble d’éléments G avec
une loi notée ° est un groupe si :
1. Il existe un élément noté 1
de G tel que 1 ° a = a ° 1 pour
tous les éléments a du groupe G
(1 s’appelle l’élément neutre)
2. Pour chaque élément a de G il
existe un élément a de G tel que
a ° a = a ° a = 1 (a s’appelle l’élément inverse de a)
3. Pour tous les éléments a, b, et
c de G, on a a ° (b ° c) = (a ° b) ° c
(c’est ce que l’on appelle l’associativité).