50 clés pour comprendre les maths
154
Comme pour le triskèle, il existe une rotation laissant
le tripode fixe, mais il existe aussi une symétrie axiale,
et donc un groupe de symétrie plus vaste. Nous appellerons U, V et W les réflexions selon les trois axes du
miroir.
Le groupe de symétrie du tripode, qui est d’ordre 6, est
composé des 6 transformations I, R, S, U, V et W. Sa
table de multiplication est représentée ci-contre.
Une transformation intéressante s’obtient en composant deux réflexions par rapport à deux axes distincts,
par exemple U ° W (où la réflexion W est appliquée en
premier et est suivie de la réflexion U). On obtient une
rotation d’angle 120° du tripode, et donc on a U ° W = R. En
revanche, l’opération W ° U = S donne une rotation d’angle
240°. En particulier, U ° W ∙ W ° U. C’est une différence
majeure entre la table de multiplication pour un groupe et une
table de multiplication ordinaire avec des nombres.
Un groupe dans lequel l’ordre de composition des éléments
n’a pas d’importance s’appelle un groupe abélien, du nom du
mathématicien norvégien Niels Abel. Le groupe de symétrie du
tripode est le plus petit groupe qui n’est pas abélien.
Les groupes abstraits Au cours du xx
e siècle, l’algèbre
classique a évolué vers l’algèbre abstraite dans laquelle un
groupe est défini par certaines règles de base appelées axiomes.
De ce point de vue, le groupe de symétrie du triangle devient un simple exemple de
système abstrait. En algèbre, certains systèmes sont plus élémentaires qu’un groupe
et nécessitent un nombre moins important d’axiomes ; d’autres systèmes plus complexes nécessitent davantage d’axiomes. Cependant, l’admirable concept de groupe
est le système algébrique le plus impsortant de tous. Grâce à la méthode abstraite,
on peut déduire les théorèmes généraux pour tous les groupes, et les appliquer, si
nécessaire, à des groupes particuliers.
Une caractéristique de la théorie des groupes est qu’il peut y avoir des petits groupes
à l’intérieur de groupes plus importants. Le groupe de symétrie du triskèle d’ordre
3 est un sous-groupe du groupe de symétrie du tripode d’ordre 6. J.-L. Lagrange
a prouvé un résultat élémentaire sur les sous-groupes. Le théorème de Lagrange
énonce que l’ordre d’un sous-groupe doit toujours diviser l’ordre du groupe auquel
il appartient. Nous savons donc immédiatement que le groupe de symétrie du tripode n’a aucun sous-groupe d’ordre 4 ou 5.
Classification des groupes Un vaste programme fut lancé pour classer tous
les groupes finis possibles. Il n’est pas nécessaire d’en dresser une liste exhaustive car
certains groupes sont construits à partir de groupes élémentaires, qui sont les seuls
°
I
R
S
U
V W
I
I
R
S
U
V W
R
R
S
I
V W U
S
S
I
R W U
V
U
U W V
I
S
R
V
V
U W R
I
S
W W V
U
S
R
I
Table de Caley pour le groupe
du tripode
Reflexions
d’un tripode
U
W
V
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Comme pour le triskèle, il existe une rotation laissant
le tripode fixe, mais il existe aussi une symétrie axiale,
et donc un groupe de symétrie plus vaste. Nous appellerons U, V et W les réflexions selon les trois axes du
miroir.
Le groupe de symétrie du tripode, qui est d’ordre 6, est
composé des 6 transformations I, R, S, U, V et W. Sa
table de multiplication est représentée ci-contre.
Une transformation intéressante s’obtient en composant deux réflexions par rapport à deux axes distincts,
par exemple U ° W (où la réflexion W est appliquée en
premier et est suivie de la réflexion U). On obtient une
rotation d’angle 120° du tripode, et donc on a U ° W = R. En
revanche, l’opération W ° U = S donne une rotation d’angle
240°. En particulier, U ° W ∙ W ° U. C’est une différence
majeure entre la table de multiplication pour un groupe et une
table de multiplication ordinaire avec des nombres.
Un groupe dans lequel l’ordre de composition des éléments
n’a pas d’importance s’appelle un groupe abélien, du nom du
mathématicien norvégien Niels Abel. Le groupe de symétrie du
tripode est le plus petit groupe qui n’est pas abélien.
Les groupes abstraits Au cours du xx
e siècle, l’algèbre
classique a évolué vers l’algèbre abstraite dans laquelle un
groupe est défini par certaines règles de base appelées axiomes.
De ce point de vue, le groupe de symétrie du triangle devient un simple exemple de
système abstrait. En algèbre, certains systèmes sont plus élémentaires qu’un groupe
et nécessitent un nombre moins important d’axiomes ; d’autres systèmes plus complexes nécessitent davantage d’axiomes. Cependant, l’admirable concept de groupe
est le système algébrique le plus impsortant de tous. Grâce à la méthode abstraite,
on peut déduire les théorèmes généraux pour tous les groupes, et les appliquer, si
nécessaire, à des groupes particuliers.
Une caractéristique de la théorie des groupes est qu’il peut y avoir des petits groupes
à l’intérieur de groupes plus importants. Le groupe de symétrie du triskèle d’ordre
3 est un sous-groupe du groupe de symétrie du tripode d’ordre 6. J.-L. Lagrange
a prouvé un résultat élémentaire sur les sous-groupes. Le théorème de Lagrange
énonce que l’ordre d’un sous-groupe doit toujours diviser l’ordre du groupe auquel
il appartient. Nous savons donc immédiatement que le groupe de symétrie du tripode n’a aucun sous-groupe d’ordre 4 ou 5.
Classification des groupes Un vaste programme fut lancé pour classer tous
les groupes finis possibles. Il n’est pas nécessaire d’en dresser une liste exhaustive car
certains groupes sont construits à partir de groupes élémentaires, qui sont les seuls
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I
R
S
U
V W
I
I
R
S
U
V W
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V W U
S
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R W U
V
U
U W V
I
S
R
V
V
U W R
I
S
W W V
U
S
R
I
Table de Caley pour le groupe
du tripode
Reflexions
d’un tripode
U
W
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