Les groupes 153
1891
Evgraf Fedorov et Arthur Schönflies réalisent
chacun de leur côté une classification
des 230 groupes cristallographiques.
1983
La classification des groupes finis simples
est achevée et le théorème énorme est
prouvé.
Si on lui fait subir une rotation de 120° ou de
240°, la figure coïncidera avec elle-même ; si
vous fermez les yeux avant d’effectuer cette
rotation, vous verrez le même triskèle en
ouvrant les yeux après la rotation.
Ce qui est curieux avec cette figure à trois
branches, c’est qu’aucune rotation du plan ne
pourra jamais convertir un triskèle orienté à droite
en triskèle orienté à gauche. Les objets pour lesquels
l’image dans le miroir est différente de l’objet devant
le miroir sont dits chiraux : ils paraissent identiques
mais ne le sont pas. La structure moléculaire de certains composés chimiques peut exister sous la forme de
figures en trois dimensions orientées à droite ou à gauche et
sont donc de parfaits exemples d’objets chiraux. C’est le cas avec
le limonène composé qui, sous une certaine forme, a un goût de citron, et sous une
autre, un goût d’orange. La thalidomide est sous une certaine forme un remède
efficace contre les nausées matinales de la grossesse mais sous une autre forme, elle
a des conséquences tragiques sur le fœtus.
La mesure de la symétrie Dans le cas de notre triskèle, les opérations de
base sont les rotations R d’angle 120° et S d’angle 240° (dans le sens des aiguilles
d’une montre). La transformation I est celle qui fait effectuer au triangle une rotation d’angle 360°, c’est-à-dire qui ne lui fait subir aucune rotation. On peut créer un
tableau à partir des combinaisons de ces rotations, de la même manière que l’on
pourrait créer une table de multiplication.
Ce tableau est une table ordinaire de multiplication comportant des
nombres, mais la différence est que l’on « multiplie » des symboles. Selon
la convention la plus communément employée, la multiplication R ° S
signifie qu’il faut d’abord faire tourner le triskèle dans le sens des aiguilles
d’une montre à 240° avec S, puis de 120° avec R, ce qui donne une rotation d’angle 360°, comme si rien ne s’était passé. On peut l’écrire sous la
forme R ° S = I, résultat qui se trouve à la jonction de l’avant dernière ligne
et de la dernière colonne du tableau.
Le groupe symétrique du triskèle est constitué de I, R et S et la table de
multiplication indique comment les calculer. Puisque le groupe contient
trois éléments, sa taille (ou son « ordre ») est égale à 3. Cette table s’appelle aussi
une table de Cayley (d’après le mathématicien Arthur Cayley, cousin éloigné de Sir
George Cayley, pionnier de l’aviation).
°
I
R S
I
I
R S
R R S
I
S
S
I
R
Table de Cayley
pour le groupe
du triskèle
Le triskèle de l’île de Man
1891
Evgraf Fedorov et Arthur Schönflies réalisent
chacun de leur côté une classification
des 230 groupes cristallographiques.
1983
La classification des groupes finis simples
est achevée et le théorème énorme est
prouvé.
Si on lui fait subir une rotation de 120° ou de
240°, la figure coïncidera avec elle-même ; si
vous fermez les yeux avant d’effectuer cette
rotation, vous verrez le même triskèle en
ouvrant les yeux après la rotation.
Ce qui est curieux avec cette figure à trois
branches, c’est qu’aucune rotation du plan ne
pourra jamais convertir un triskèle orienté à droite
en triskèle orienté à gauche. Les objets pour lesquels
l’image dans le miroir est différente de l’objet devant
le miroir sont dits chiraux : ils paraissent identiques
mais ne le sont pas. La structure moléculaire de certains composés chimiques peut exister sous la forme de
figures en trois dimensions orientées à droite ou à gauche et
sont donc de parfaits exemples d’objets chiraux. C’est le cas avec
le limonène composé qui, sous une certaine forme, a un goût de citron, et sous une
autre, un goût d’orange. La thalidomide est sous une certaine forme un remède
efficace contre les nausées matinales de la grossesse mais sous une autre forme, elle
a des conséquences tragiques sur le fœtus.
La mesure de la symétrie Dans le cas de notre triskèle, les opérations de
base sont les rotations R d’angle 120° et S d’angle 240° (dans le sens des aiguilles
d’une montre). La transformation I est celle qui fait effectuer au triangle une rotation d’angle 360°, c’est-à-dire qui ne lui fait subir aucune rotation. On peut créer un
tableau à partir des combinaisons de ces rotations, de la même manière que l’on
pourrait créer une table de multiplication.
Ce tableau est une table ordinaire de multiplication comportant des
nombres, mais la différence est que l’on « multiplie » des symboles. Selon
la convention la plus communément employée, la multiplication R ° S
signifie qu’il faut d’abord faire tourner le triskèle dans le sens des aiguilles
d’une montre à 240° avec S, puis de 120° avec R, ce qui donne une rotation d’angle 360°, comme si rien ne s’était passé. On peut l’écrire sous la
forme R ° S = I, résultat qui se trouve à la jonction de l’avant dernière ligne
et de la dernière colonne du tableau.
Le groupe symétrique du triskèle est constitué de I, R et S et la table de
multiplication indique comment les calculer. Puisque le groupe contient
trois éléments, sa taille (ou son « ordre ») est égale à 3. Cette table s’appelle aussi
une table de Cayley (d’après le mathématicien Arthur Cayley, cousin éloigné de Sir
George Cayley, pionnier de l’aviation).
°
I
R S
I
I
R S
R R S
I
S
S
I
R
Table de Cayley
pour le groupe
du triskèle
Le triskèle de l’île de Man