50 clés pour comprendre les maths
14
Conversions sous forme décimale Dans le monde des sciences et dans la
plupart des applications mathématiques, c’est sous forme décimale que l’on préfère
exprimer les fractions. La fraction
4 / 5 est équivalente à la fraction
8 / 10 qui a 10 pour
dénominateur et qui peut s’écrire sous la forme décimale 0,8.
Les fractions dont le dénominateur est égal à 5 ou 10 sont faciles à convertir. Mais
comment pourrions-nous convertir par exemple
7
/ 8 sous forme décimale ? Tout ce
qu’il faut savoir, c’est que lorsque l’on divise un nombre entier par un autre, ou bien
il y va un certain nombre exact de fois, ou bien il y va un certain nombre de fois et
il reste quelque chose que l’on appelle le « reste ».
Si l’on prend
7
/ 8 à titre d’exemple, la formule pour passer des fractions aux formes
décimales est la suivante :
• Essayez de diviser 7 par 8. On ne peut pas, ou vous pourriez dire qu’il y va 0 fois et
qu’il reste 7. On le note en écrivant zéro suivi de la virgule décimale : « 0, ».
• Maintenant, divisez 70 par 8 (le reste de l’étape précédente multiplié par 10). Il y
va 8 fois, puisque 8 × 8 = 64 ; la réponse est donc 8 et il reste 6 (70 – 64). On écrit
alors ce résultat à côté du précédent, ce qui donne « 0,8 ».
• Divisez à présent 60 par 8 (le reste de l’étape précédente multiplié par 10). Comme
7 × 8 = 56, la réponse est 7 et il reste 4. On le note, et nous en sommes maintenant
à « 0,87 ».
• Divisez 40 par 8 (le reste de l’étape précédente multiplié par 10). Il y va 5 fois et
il reste 0. Lorsque l’on obtient 0, on est arrivé au bout de la formule. C’est terminé.
La réponse est « 0,875 ».
Avec d’autres fractions parfois, les choses ne s’arrêtent jamais ! On pourrait continuer à l’infini ; si l’on essaie de convertir
2
/ 3 sous forme décimale par exemple, on
trouve que 20 divisé par 3 donne 6 et qu’il reste 2. Il faut alors diviser à nouveau
20 par 6, mais à aucun moment le reste n’est égal à 0. Dans ce cas, on obtient la
forme décimale infinie 0,666666… On l’écrit 0,6–… pour indiquer que c’est une
« fraction périodique ».
Un grand nombre de fractions nous mènent ainsi à l’infini. La fraction
5
/ 7 est intéressante. Dans ce cas, on a
5
/ 7 = 0,714 285 714 285 714 285… et on voit que la suite
714285 se répète périodiquement. Si une fraction quelconque donne une suite
qui se répète périodiquement, il est impossible de l’écrire sous forme décimale
et l’utilité de la notation avec la barre apparaît dans toute sa splendeur.
Dans le cas de
5
/ 7 on écrit
5
7
0,714 285…
=
Fractions égyptiennes Les Égyptiens du deuxième millénaire
avant J.-C. avaient construit leur système de fractions à partir de hiéroglyphes
qui désignaient des fractions unitaires, c’est-à-dire des fractions dont le numérateur est égal à 1. C’est ce que le papyrus Rhind entreposé au British Museum
de Londres nous a enseigné. C’était un système de fractions si compliqué que
1 _
2
1
_
3
2
_
3
1
_
4
3
_
4
Fractions
égyptiennes
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Conversions sous forme décimale Dans le monde des sciences et dans la
plupart des applications mathématiques, c’est sous forme décimale que l’on préfère
exprimer les fractions. La fraction
4 / 5 est équivalente à la fraction
8 / 10 qui a 10 pour
dénominateur et qui peut s’écrire sous la forme décimale 0,8.
Les fractions dont le dénominateur est égal à 5 ou 10 sont faciles à convertir. Mais
comment pourrions-nous convertir par exemple
7
/ 8 sous forme décimale ? Tout ce
qu’il faut savoir, c’est que lorsque l’on divise un nombre entier par un autre, ou bien
il y va un certain nombre exact de fois, ou bien il y va un certain nombre de fois et
il reste quelque chose que l’on appelle le « reste ».
Si l’on prend
7
/ 8 à titre d’exemple, la formule pour passer des fractions aux formes
décimales est la suivante :
• Essayez de diviser 7 par 8. On ne peut pas, ou vous pourriez dire qu’il y va 0 fois et
qu’il reste 7. On le note en écrivant zéro suivi de la virgule décimale : « 0, ».
• Maintenant, divisez 70 par 8 (le reste de l’étape précédente multiplié par 10). Il y
va 8 fois, puisque 8 × 8 = 64 ; la réponse est donc 8 et il reste 6 (70 – 64). On écrit
alors ce résultat à côté du précédent, ce qui donne « 0,8 ».
• Divisez à présent 60 par 8 (le reste de l’étape précédente multiplié par 10). Comme
7 × 8 = 56, la réponse est 7 et il reste 4. On le note, et nous en sommes maintenant
à « 0,87 ».
• Divisez 40 par 8 (le reste de l’étape précédente multiplié par 10). Il y va 5 fois et
il reste 0. Lorsque l’on obtient 0, on est arrivé au bout de la formule. C’est terminé.
La réponse est « 0,875 ».
Avec d’autres fractions parfois, les choses ne s’arrêtent jamais ! On pourrait continuer à l’infini ; si l’on essaie de convertir
2
/ 3 sous forme décimale par exemple, on
trouve que 20 divisé par 3 donne 6 et qu’il reste 2. Il faut alors diviser à nouveau
20 par 6, mais à aucun moment le reste n’est égal à 0. Dans ce cas, on obtient la
forme décimale infinie 0,666666… On l’écrit 0,6–… pour indiquer que c’est une
« fraction périodique ».
Un grand nombre de fractions nous mènent ainsi à l’infini. La fraction
5
/ 7 est intéressante. Dans ce cas, on a
5
/ 7 = 0,714 285 714 285 714 285… et on voit que la suite
714285 se répète périodiquement. Si une fraction quelconque donne une suite
qui se répète périodiquement, il est impossible de l’écrire sous forme décimale
et l’utilité de la notation avec la barre apparaît dans toute sa splendeur.
Dans le cas de
5
/ 7 on écrit
5
7
0,714 285…
=
Fractions égyptiennes Les Égyptiens du deuxième millénaire
avant J.-C. avaient construit leur système de fractions à partir de hiéroglyphes
qui désignaient des fractions unitaires, c’est-à-dire des fractions dont le numérateur est égal à 1. C’est ce que le papyrus Rhind entreposé au British Museum
de Londres nous a enseigné. C’était un système de fractions si compliqué que
1 _
2
1
_
3
2
_
3
1
_
4
3
_
4
Fractions
égyptiennes