Les fractions 13
100 ap. J.-C.
Les Chinois conçoivent
un système de calcul qui
utilise des fractions.
1202
La notation
fractionnaire avec
la barre se répand
grâce à Léonard
de Pise (Fibonacci).
1585
Simon Stevin expose
sa théorie sur
les fractions décimales.
1700
Le trait de fraction « / »
(comme dans
a / b )
est d’emploi courant.
mathématiciens la notaient autrefois sous la forme
4
/ 5 2. Les fractions sont généralement représentées avec un numérateur et un dénominateur (le « haut » et le « bas »)
qui n’ont aucun facteur commun. Par exemple, le numérateur et le dénominateur
de 8/10 ont 2 pour facteur commun, parce que 8 = 2 × 4 et 10 = 2 × 5. Si l’on écrit
la fraction 8/10 =
(2 × 4) / (2 × 5) on peut supprimer les 2 et donc 8/10 = 4/5, forme
équivalente plus simple. Les mathématiciens appellent les fractions « des nombres
rationnels » parce qu’elles expriment un ratio entre deux nombres. Les nombres
rationnels étaient des nombres que les Grecs savaient « mesurer ».
Additionner et multiplier Chose curieuse avec les fractions, c’est qu’il est
plus facile de les multiplier que de les additionner. La multiplication des nombres
entiers est tellement pénible qu’il a fallu inventer des méthodes astucieuses pour
y parvenir. Avec les fractions, c’est l’addition qui pose le plus de problèmes et qui
demande un petit effort de réflexion.
Commençons par la multiplication. Si vous achetez une chemise aux quatre cinquièmes de son prix initial de 30 €, vous la payez au final 24 €. Les 30 € sont divisés
en 5 parties de 6 € chacune et quatre de ces cinq parties sont égales à 4 × 6 = 24,
somme à payer pour acheter la chemise.
Par la suite, le directeur du magasin découvre que ses chemises ne se vendent pas
bien. Il baisse alors encore les prix et les affiche à
1 / 2 du prix soldé. Si vous allez
dans le magasin, vous pouvez maintenant acheter la chemise pour 12 €. On a en
effet
1
/ 2 ×
4
/ 5 × 30 qui est égal à 12 €. Pour multiplier deux fractions, il suffit de multiplier deux à deux les dénominateurs puis les numérateurs :
1 4 1 4 4
2 5 2 5 10
×
×
× =
=
Si le directeur avait fait les deux réductions en une seule fois, il aurait affiché les chemises à quatre dixièmes du prix initial qui est de 30 €, c’est-à-dire
4
/ 10 × 30, soit 12 €.
Additionner deux fractions est une tout autre affaire. L’addition de
1 / 3 +
2 / 3 est
simple parce que les dénominateurs sont identiques. Il suffit d’ajouter les deux
numérateurs et l’on obtient
3 / 3 , ou 1. Mais comment additionner deux tiers du
gâteau avec quatre cinquièmes du gâteau ? Comment calculer
2
/ 3 +
4
/ 5 ? Si seulement
on pouvait dire
2
/ 3 +
4
/ 5 =
(2 + 4)
/ (3 + 5) =
6
/ 8 , mais c’est malheureusement impossible.
Additionner les fractions exige une approche différente. Pour ajouter
2
/ 3 à
4
/ 5 , il faut
d’abord les mettre au même dénominateur. Commencez par multiplier le haut et
le bas de
2 / 3 par 5 : vous obtenez
10 / 15 . Multipliez à présent le haut et le bas de
4 / 5
par 3 : vous obtenez
12
/ 15 . Maintenant, les deux fractions ont 15 pour dénominateur
commun et pour les additionner, il suffit d’additionner les numérateurs obtenus :
10
2 4
12 22
3 5 15 15 15
+
+
=
=
100 ap. J.-C.
Les Chinois conçoivent
un système de calcul qui
utilise des fractions.
1202
La notation
fractionnaire avec
la barre se répand
grâce à Léonard
de Pise (Fibonacci).
1585
Simon Stevin expose
sa théorie sur
les fractions décimales.
1700
Le trait de fraction « / »
(comme dans
a / b )
est d’emploi courant.
mathématiciens la notaient autrefois sous la forme
4
/ 5 2. Les fractions sont généralement représentées avec un numérateur et un dénominateur (le « haut » et le « bas »)
qui n’ont aucun facteur commun. Par exemple, le numérateur et le dénominateur
de 8/10 ont 2 pour facteur commun, parce que 8 = 2 × 4 et 10 = 2 × 5. Si l’on écrit
la fraction 8/10 =
(2 × 4) / (2 × 5) on peut supprimer les 2 et donc 8/10 = 4/5, forme
équivalente plus simple. Les mathématiciens appellent les fractions « des nombres
rationnels » parce qu’elles expriment un ratio entre deux nombres. Les nombres
rationnels étaient des nombres que les Grecs savaient « mesurer ».
Additionner et multiplier Chose curieuse avec les fractions, c’est qu’il est
plus facile de les multiplier que de les additionner. La multiplication des nombres
entiers est tellement pénible qu’il a fallu inventer des méthodes astucieuses pour
y parvenir. Avec les fractions, c’est l’addition qui pose le plus de problèmes et qui
demande un petit effort de réflexion.
Commençons par la multiplication. Si vous achetez une chemise aux quatre cinquièmes de son prix initial de 30 €, vous la payez au final 24 €. Les 30 € sont divisés
en 5 parties de 6 € chacune et quatre de ces cinq parties sont égales à 4 × 6 = 24,
somme à payer pour acheter la chemise.
Par la suite, le directeur du magasin découvre que ses chemises ne se vendent pas
bien. Il baisse alors encore les prix et les affiche à
1 / 2 du prix soldé. Si vous allez
dans le magasin, vous pouvez maintenant acheter la chemise pour 12 €. On a en
effet
1
/ 2 ×
4
/ 5 × 30 qui est égal à 12 €. Pour multiplier deux fractions, il suffit de multiplier deux à deux les dénominateurs puis les numérateurs :
1 4 1 4 4
2 5 2 5 10
×
×
× =
=
Si le directeur avait fait les deux réductions en une seule fois, il aurait affiché les chemises à quatre dixièmes du prix initial qui est de 30 €, c’est-à-dire
4
/ 10 × 30, soit 12 €.
Additionner deux fractions est une tout autre affaire. L’addition de
1 / 3 +
2 / 3 est
simple parce que les dénominateurs sont identiques. Il suffit d’ajouter les deux
numérateurs et l’on obtient
3 / 3 , ou 1. Mais comment additionner deux tiers du
gâteau avec quatre cinquièmes du gâteau ? Comment calculer
2
/ 3 +
4
/ 5 ? Si seulement
on pouvait dire
2
/ 3 +
4
/ 5 =
(2 + 4)
/ (3 + 5) =
6
/ 8 , mais c’est malheureusement impossible.
Additionner les fractions exige une approche différente. Pour ajouter
2
/ 3 à
4
/ 5 , il faut
d’abord les mettre au même dénominateur. Commencez par multiplier le haut et
le bas de
2 / 3 par 5 : vous obtenez
10 / 15 . Multipliez à présent le haut et le bas de
4 / 5
par 3 : vous obtenez
12
/ 15 . Maintenant, les deux fractions ont 15 pour dénominateur
commun et pour les additionner, il suffit d’additionner les numérateurs obtenus :
10
2 4
12 22
3 5 15 15 15
+
+
=
=