50 clés pour comprendre les maths
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MM dans la nouvelle génération sont de 9 %, 42 %, et 49 %. Parce que M est le
facteur dominant, 42 % + 49 % = 91 % des individus de la première génération
auront les yeux marron. Seuls les individus de génotype bb seront porteurs des
caractères transmis par l’allèle b, et donc 9 % de la population seulement aura
les yeux bleus.
La proportion initiale des génotypes était de 20 %, 20 % et 60 % et dans la nouvelle
génération, elle est de 9 %, 42 % et 49 %. Que se passe-t-il ensuite ? Voyons ce qui
se produit si une nouvelle génération est issue de cette première génération suite à
d’autres accouplements aléatoires. La proportion des allèles b est égale à 0,09 +
1
2
× 0,42 = 0,3 et la proportion des allèles M est égale à
1
2
× 0,42 + 0,49 = 0,7.
Ces résultats sont identiques aux probabilités de la transmission des allèles b et M
obtenues précédemment. La proportion des génotypes bb, bM et MM dans la génération suivante est donc la même que pour la génération précédente, et le génotype
bb qui donne les yeux bleus ne faiblit pas mais reste stable à 9 % de la population.
Les proportions successives des génotypes pendant une suite d’accouplements aléatoires sont donc de 20 %, 20 %, 60 % → 9 %, 42 %, 49 % → … → 9 %, 42 %, 49 %.
Ces résultats sont conformes à ce que stipule la loi de Hardy-Weinberg : après une
génération, les proportions des génotypes restent constantes de génération en génération, de même que les probabilités de transmission.
Le raisonnement de Hardy Pour vérifier que la loi de Hardy-Weinberg fonctionne quelle que soit la population initiale et pas seulement lorsque les proportions
sont de 20 %, 20 % et 60 % comme dans notre exemple, le mieux est de se reporter au
raisonnement que Hardy envoya à l’éditeur du magazine américain Science en 1908.
Hardy commence avec la proportion initiale des génotypes bb, bM et MM qu’il
appelle p, 2r et q et les probabilités de transmission p + r et r + q. Dans notre exemple
numérique (de 20 %, 20 %, 60 %), p = 0,2, 2r = 0,2 et q = 0,6. Les probabilités de
transmission des allèles b et M sont égales à p + r = 0,2 + 0,1 = 0,3 et r + q = 0,1 + 0,6
= 0,7. Que se passe-t-il si la distribution initiale des génotypes bb, bM et MM est
différente et si l’on a par exemple au départ 10 %, 60 % et 30 % ? Comment la loi
de Hardy-Weinberg fonctionne-t-elle dans ce cas ? On a alors p = 0,1, 2r = 0,6 et q
= 0,3 et les probabilités de transmission des allèles b et M sont respectivement p + r
= 0,4 et r + q = 0,6. La proportion des génotypes de la génération suivante est donc
de 16 %, 48 % et 36 %. Les proportions successives des génotypes bb, bM et MM
après des accouplements aléatoires sont les suivants :
10 %, 60 %, 30 % → 16 %, 48 %, 36 % → … → 16 %, 48 %, 36 %
Les proportions se stabilisent après une génération, comme précédemment, et les
probabilités de transmission de 0,4 et 0,6 restent constantes. Avec ces chiffres, 16 %
de la population a les yeux bleus et 48 % + 36 % = 84 % a les yeux marron parce que
M est dominant dans le génotype bM.
La loi de Hardy-Weinberg implique donc que les proportions des génotypes bb, bM
et MM restent constantes de génération en génération quelle que soit la répartition
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MM dans la nouvelle génération sont de 9 %, 42 %, et 49 %. Parce que M est le
facteur dominant, 42 % + 49 % = 91 % des individus de la première génération
auront les yeux marron. Seuls les individus de génotype bb seront porteurs des
caractères transmis par l’allèle b, et donc 9 % de la population seulement aura
les yeux bleus.
La proportion initiale des génotypes était de 20 %, 20 % et 60 % et dans la nouvelle
génération, elle est de 9 %, 42 % et 49 %. Que se passe-t-il ensuite ? Voyons ce qui
se produit si une nouvelle génération est issue de cette première génération suite à
d’autres accouplements aléatoires. La proportion des allèles b est égale à 0,09 +
1
2
× 0,42 = 0,3 et la proportion des allèles M est égale à
1
2
× 0,42 + 0,49 = 0,7.
Ces résultats sont identiques aux probabilités de la transmission des allèles b et M
obtenues précédemment. La proportion des génotypes bb, bM et MM dans la génération suivante est donc la même que pour la génération précédente, et le génotype
bb qui donne les yeux bleus ne faiblit pas mais reste stable à 9 % de la population.
Les proportions successives des génotypes pendant une suite d’accouplements aléatoires sont donc de 20 %, 20 %, 60 % → 9 %, 42 %, 49 % → … → 9 %, 42 %, 49 %.
Ces résultats sont conformes à ce que stipule la loi de Hardy-Weinberg : après une
génération, les proportions des génotypes restent constantes de génération en génération, de même que les probabilités de transmission.
Le raisonnement de Hardy Pour vérifier que la loi de Hardy-Weinberg fonctionne quelle que soit la population initiale et pas seulement lorsque les proportions
sont de 20 %, 20 % et 60 % comme dans notre exemple, le mieux est de se reporter au
raisonnement que Hardy envoya à l’éditeur du magazine américain Science en 1908.
Hardy commence avec la proportion initiale des génotypes bb, bM et MM qu’il
appelle p, 2r et q et les probabilités de transmission p + r et r + q. Dans notre exemple
numérique (de 20 %, 20 %, 60 %), p = 0,2, 2r = 0,2 et q = 0,6. Les probabilités de
transmission des allèles b et M sont égales à p + r = 0,2 + 0,1 = 0,3 et r + q = 0,1 + 0,6
= 0,7. Que se passe-t-il si la distribution initiale des génotypes bb, bM et MM est
différente et si l’on a par exemple au départ 10 %, 60 % et 30 % ? Comment la loi
de Hardy-Weinberg fonctionne-t-elle dans ce cas ? On a alors p = 0,1, 2r = 0,6 et q
= 0,3 et les probabilités de transmission des allèles b et M sont respectivement p + r
= 0,4 et r + q = 0,6. La proportion des génotypes de la génération suivante est donc
de 16 %, 48 % et 36 %. Les proportions successives des génotypes bb, bM et MM
après des accouplements aléatoires sont les suivants :
10 %, 60 %, 30 % → 16 %, 48 %, 36 % → … → 16 %, 48 %, 36 %
Les proportions se stabilisent après une génération, comme précédemment, et les
probabilités de transmission de 0,4 et 0,6 restent constantes. Avec ces chiffres, 16 %
de la population a les yeux bleus et 48 % + 36 % = 84 % a les yeux marron parce que
M est dominant dans le génotype bM.
La loi de Hardy-Weinberg implique donc que les proportions des génotypes bb, bM
et MM restent constantes de génération en génération quelle que soit la répartition