La courbe de la loi normale 143
Lancer la pièce quatre fois est un peu restrictif. Que se passe-t-il si on la lance un
grand nombre de fois, 100 fois par exemple ? La loi binomiale peut s’appliquer
lorsque n = 100, mais on peut en trouver une approximation utile à l’aide de la
courbe en cloche, ce qui donne la moyenne µ = 50 (puisque l’on pourrait s’attendre
à 50 « face » lorsque l’on lance la pièce 100 fois) et la dispersion (l’écart type) de
σ = 5. C’est ce que de Moivre découvrit au xviii
e siècle.
0
1
2
3
4
Nombre de « face »
x
Pour les grandes valeurs de n, la variable x, qui mesure le nombre de succès, se
rapproche de plus en plus de la courbe de Gauss. Plus la valeur de n est élevée, meilleure est l’approximation, et lancer la pièce 100 fois peut être considéré comme un
grand nombre de fois. Imaginons maintenant que nous voulions
connaître la probabilité d’obtenir entre 40 et 60 « face ». La
surface A correspond à la région qui nous intéresse et nous
donne la probabilité d’obtenir entre 40 et 60 « face », probabilité que nous écrivons P(40 ⩽ x ⩽ 60). Pour trouver la
valeur numérique réelle, on a recours à des tables mathématiques toutes faites, et on trouve ainsi P(40 ⩽ x ⩽ 60)
= 0,9545. Autrement dit, la probabilité d’obtenir entre
40 et 60 « face » en 100 lancers de pièce est de
95,45 %, ce qui signifie que c’est fortement
probable.
La surface restante est égale à 1 – 0,9545, soit
0,0455 seulement. Comme la courbe de Gauss est symétrique
par rapport à son milieu, une moitié de la courbe donne la
probabilité d’obtenir plus de 60 « face » en 100 lancers de la pièce. Cela ne représente qu’une probabilité de 2,275 %, ce qui est très faible. Si vous allez à Las Vegas,
contentez-vous de regarder, c’est ce que vous avez de mieux à faire.
l’idée clé
L’ubiquité
de la courbe en cloche
40
50
60 Nombre de « face »
Le nombre de « face » en quatre
lanc ers selon la loi binomiale.
Loi de probabilité pour le nombre
de « face » obtenus en 100 lancers.
Lancer la pièce quatre fois est un peu restrictif. Que se passe-t-il si on la lance un
grand nombre de fois, 100 fois par exemple ? La loi binomiale peut s’appliquer
lorsque n = 100, mais on peut en trouver une approximation utile à l’aide de la
courbe en cloche, ce qui donne la moyenne µ = 50 (puisque l’on pourrait s’attendre
à 50 « face » lorsque l’on lance la pièce 100 fois) et la dispersion (l’écart type) de
σ = 5. C’est ce que de Moivre découvrit au xviii
e siècle.
0
1
2
3
4
Nombre de « face »
x
Pour les grandes valeurs de n, la variable x, qui mesure le nombre de succès, se
rapproche de plus en plus de la courbe de Gauss. Plus la valeur de n est élevée, meilleure est l’approximation, et lancer la pièce 100 fois peut être considéré comme un
grand nombre de fois. Imaginons maintenant que nous voulions
connaître la probabilité d’obtenir entre 40 et 60 « face ». La
surface A correspond à la région qui nous intéresse et nous
donne la probabilité d’obtenir entre 40 et 60 « face », probabilité que nous écrivons P(40 ⩽ x ⩽ 60). Pour trouver la
valeur numérique réelle, on a recours à des tables mathématiques toutes faites, et on trouve ainsi P(40 ⩽ x ⩽ 60)
= 0,9545. Autrement dit, la probabilité d’obtenir entre
40 et 60 « face » en 100 lancers de pièce est de
95,45 %, ce qui signifie que c’est fortement
probable.
La surface restante est égale à 1 – 0,9545, soit
0,0455 seulement. Comme la courbe de Gauss est symétrique
par rapport à son milieu, une moitié de la courbe donne la
probabilité d’obtenir plus de 60 « face » en 100 lancers de la pièce. Cela ne représente qu’une probabilité de 2,275 %, ce qui est très faible. Si vous allez à Las Vegas,
contentez-vous de regarder, c’est ce que vous avez de mieux à faire.
l’idée clé
L’ubiquité
de la courbe en cloche
40
50
60 Nombre de « face »
Le nombre de « face » en quatre
lanc ers selon la loi binomiale.
Loi de probabilité pour le nombre
de « face » obtenus en 100 lancers.