50 clés pour comprendre les maths
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de 20, la moyenne de la population. Bien
qu’il soit peu probable que la moyenne de
l’échantillon soit très petite ou très grande,
cela pourrait toutefois arriver.
Le TCL est l’une des raisons pour lesquelles
les statisticiens s’intéressent à la courbe de
la loi normale. Il stipule que la répartition
réelle des moyennes x – de l’échantillon se
rapproche d’une courbe de Gauss quelle que
soit la répartition de x. Qu’est-ce que cela
signifie ? Dans le cas de Gabrielle, x représente la distance entre le lieu de travail
et x – est la moyenne d’un échantillon. La répartition de x dans l’histogramme de
Gabrielle n’a rien à voir avec une courbe en cloche, contrairement à la répartition
de x – , et elle est centrée sur µ = 20.
C’est la raison pour laquelle on peut utiliser la moyenne d’un échantillon x – comme
estimation de la moyenne de la population µ. La dispersion des moyennes des
échantillons x – constitue un avantage supplémentaire. Si la dispersion des valeurs x
est donnée par l’écart type σ, la dispersion de x – est égale à
σ
√n
où n est la taille de
l’échantillon choisit. Plus l’échantillon est grand, plus la courbe de Gauss est étroite,
et meilleure est l’estimation de µ.
D’autres courbes du même type Faisons une expérience simple. Nous
allons lancer une pièce quatre fois. La probabilité d’obtenir « face » à chaque fois
que je lance la pièce est p = 1/2. Le résultat pour les quatre lancers peut être noté en
utilisant F pour symboliser les « face » et P pour les « pile », en les classant selon leur
ordre de sortie. Il y a en tout 16 sorties possibles. On peut par exemple obtenir trois
« face » dans la sortie PFFF. En fait, on peut avoir quatre sorties qui donnent trois
« face » (les autres étant FPFF, FFPF, FFFP) et la probabilité d’obtenir trois « face »
est donc de 4/16 = 0,25.
Avec un petit nombre de lancers, les probabilités sont faciles à calculer et à présenter dans un tableau, et l’on peut aussi calculer la façon dont elles sont réparties.
Le nombre de rangées de combinaisons peut être obtenu en utilisant le triangle de
Pascal (voir page 52) :
Nombre de « face »
0
1
2
3
4
Nombre de combinaisons
1
4
6
4
1
Probabilité
0,0625
0,25
0,375
0,25
0,0625
(= 1/16) (= 4/16) (= 6/16) (= 4/16) (= 1/16)
C’est ce que l’on appelle une loi binomiale. Elle se produit lorsqu’il y a deux sorties
possibles (ici « pile » ou « face »). Ces probabilités peuvent être représentées à l’aide
d’un histogramme constitué de rectangles dont les hauteurs et les surfaces donnent
les sorties possibles.
Distribution
de l’échantillon moyen
20
Distance moyenne x –
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de 20, la moyenne de la population. Bien
qu’il soit peu probable que la moyenne de
l’échantillon soit très petite ou très grande,
cela pourrait toutefois arriver.
Le TCL est l’une des raisons pour lesquelles
les statisticiens s’intéressent à la courbe de
la loi normale. Il stipule que la répartition
réelle des moyennes x – de l’échantillon se
rapproche d’une courbe de Gauss quelle que
soit la répartition de x. Qu’est-ce que cela
signifie ? Dans le cas de Gabrielle, x représente la distance entre le lieu de travail
et x – est la moyenne d’un échantillon. La répartition de x dans l’histogramme de
Gabrielle n’a rien à voir avec une courbe en cloche, contrairement à la répartition
de x – , et elle est centrée sur µ = 20.
C’est la raison pour laquelle on peut utiliser la moyenne d’un échantillon x – comme
estimation de la moyenne de la population µ. La dispersion des moyennes des
échantillons x – constitue un avantage supplémentaire. Si la dispersion des valeurs x
est donnée par l’écart type σ, la dispersion de x – est égale à
σ
√n
où n est la taille de
l’échantillon choisit. Plus l’échantillon est grand, plus la courbe de Gauss est étroite,
et meilleure est l’estimation de µ.
D’autres courbes du même type Faisons une expérience simple. Nous
allons lancer une pièce quatre fois. La probabilité d’obtenir « face » à chaque fois
que je lance la pièce est p = 1/2. Le résultat pour les quatre lancers peut être noté en
utilisant F pour symboliser les « face » et P pour les « pile », en les classant selon leur
ordre de sortie. Il y a en tout 16 sorties possibles. On peut par exemple obtenir trois
« face » dans la sortie PFFF. En fait, on peut avoir quatre sorties qui donnent trois
« face » (les autres étant FPFF, FFPF, FFFP) et la probabilité d’obtenir trois « face »
est donc de 4/16 = 0,25.
Avec un petit nombre de lancers, les probabilités sont faciles à calculer et à présenter dans un tableau, et l’on peut aussi calculer la façon dont elles sont réparties.
Le nombre de rangées de combinaisons peut être obtenu en utilisant le triangle de
Pascal (voir page 52) :
Nombre de « face »
0
1
2
3
4
Nombre de combinaisons
1
4
6
4
1
Probabilité
0,0625
0,25
0,375
0,25
0,0625
(= 1/16) (= 4/16) (= 6/16) (= 4/16) (= 1/16)
C’est ce que l’on appelle une loi binomiale. Elle se produit lorsqu’il y a deux sorties
possibles (ici « pile » ou « face »). Ces probabilités peuvent être représentées à l’aide
d’un histogramme constitué de rectangles dont les hauteurs et les surfaces donnent
les sorties possibles.
Distribution
de l’échantillon moyen
20
Distance moyenne x –