Les lois de probabilités 137
1938
Benford reformule la loi
découverte par Newcomb.
1950
Zipf découvre une formule
qui relie l’utilisation des mots
au vocabulaire.
2003
La loi de Poisson est utilisée dans
l’analyse des réserves de poissons
dans l’océan Atlantique nord.
Comment le nombre de décès est-il réparti ? Recueillir ces renseignements fait partie
du travail du statisticien, qui va sur le terrain relever des résultats. Bortkiewicz obtint
les données suivantes :
Nombre de morts 0
1
2
3
4
Fréquence
109 65
22 3
1
Heureusement, les décès par ruade sont rares. La méthode la plus
adaptée pour modéliser la fréquence des événements rares est ce que
l’on appelle la loi de Poisson. Son utilisation aurait-elle permis à
Bortkiewicz de prédire les mêmes résultats sans aller visiter les écuries ? La loi de Poisson stipule que la probabilité que le nombre de
morts (que l’on appellera x) soit de valeur r est donnée par la formule de Poisson,
où e ; 2,718… est ce nombre particulier associé à la « croissance » et dont il a précédemment été question (voir page 24) ; le point d’exclamation représente la
factorielle, qui est ce nombre multiplié par tous les autres nombres entiers compris
entre 1 et lui-même (voir page 26) ; la lettre grecque lambda, qui s’écrit λ, est le
nombre moyen de morts. On a besoin de trouver cette moyenne sur les 200 années,
et on multiplie donc 0 mort par 109 années (ce qui donne 0), 1 mort par 65 années
(ce qui donne 65), 2 morts par 22 années (ce qui donne 44), 3 morts par 3 années
(ce qui donne 9) et 4 morts par 1 année (ce qui donne 4), et on additionne toutes
ces données (ce qui donne 122) et on divise par 200. Notre nombre moyen de morts
par an est donc égal à 122/200 = 0,61.
On peut trouver les probabilités théoriques (que nous appellerons p) en utilisant la
loi de Poisson avec les valeurs r = 0, 1, 2, 3 et 4. On obtient les résultats suivants :
Nombre de morts
0
1
2
3
4
Probabilités p
0,543 0,331 0,101 0,020 0,003
Nombre de morts attendus, 200 × p 108,6
66,2
20,2
4,0
0,6
La loi de Poisson semble bien adaptée pour traiter les données expérimentales réunies par Bortkiewicz.
Les premiers nombres Si l’on analyse les derniers chiffres de numéros de
téléphone qui figurent dans une colonne d’annuaire, on pourrait s’attendre à ce
que 0, 1, 2, …, 9 soient uniformément répartis. Ils apparaissent de manière aléatoire
et les chances de sorties sont égales pour tout nombre. En 1938, le physicien Frank
Benford a découvert que ce n’était pas vrai pour les premiers chiffres de certains
ensembles de données. En fait, il a redécouvert une loi observée auparavant par
l’astronome Simon Newcomb en 1881.
La loi
de Poisson
1938
Benford reformule la loi
découverte par Newcomb.
1950
Zipf découvre une formule
qui relie l’utilisation des mots
au vocabulaire.
2003
La loi de Poisson est utilisée dans
l’analyse des réserves de poissons
dans l’océan Atlantique nord.
Comment le nombre de décès est-il réparti ? Recueillir ces renseignements fait partie
du travail du statisticien, qui va sur le terrain relever des résultats. Bortkiewicz obtint
les données suivantes :
Nombre de morts 0
1
2
3
4
Fréquence
109 65
22 3
1
Heureusement, les décès par ruade sont rares. La méthode la plus
adaptée pour modéliser la fréquence des événements rares est ce que
l’on appelle la loi de Poisson. Son utilisation aurait-elle permis à
Bortkiewicz de prédire les mêmes résultats sans aller visiter les écuries ? La loi de Poisson stipule que la probabilité que le nombre de
morts (que l’on appellera x) soit de valeur r est donnée par la formule de Poisson,
où e ; 2,718… est ce nombre particulier associé à la « croissance » et dont il a précédemment été question (voir page 24) ; le point d’exclamation représente la
factorielle, qui est ce nombre multiplié par tous les autres nombres entiers compris
entre 1 et lui-même (voir page 26) ; la lettre grecque lambda, qui s’écrit λ, est le
nombre moyen de morts. On a besoin de trouver cette moyenne sur les 200 années,
et on multiplie donc 0 mort par 109 années (ce qui donne 0), 1 mort par 65 années
(ce qui donne 65), 2 morts par 22 années (ce qui donne 44), 3 morts par 3 années
(ce qui donne 9) et 4 morts par 1 année (ce qui donne 4), et on additionne toutes
ces données (ce qui donne 122) et on divise par 200. Notre nombre moyen de morts
par an est donc égal à 122/200 = 0,61.
On peut trouver les probabilités théoriques (que nous appellerons p) en utilisant la
loi de Poisson avec les valeurs r = 0, 1, 2, 3 et 4. On obtient les résultats suivants :
Nombre de morts
0
1
2
3
4
Probabilités p
0,543 0,331 0,101 0,020 0,003
Nombre de morts attendus, 200 × p 108,6
66,2
20,2
4,0
0,6
La loi de Poisson semble bien adaptée pour traiter les données expérimentales réunies par Bortkiewicz.
Les premiers nombres Si l’on analyse les derniers chiffres de numéros de
téléphone qui figurent dans une colonne d’annuaire, on pourrait s’attendre à ce
que 0, 1, 2, …, 9 soient uniformément répartis. Ils apparaissent de manière aléatoire
et les chances de sorties sont égales pour tout nombre. En 1938, le physicien Frank
Benford a découvert que ce n’était pas vrai pour les premiers chiffres de certains
ensembles de données. En fait, il a redécouvert une loi observée auparavant par
l’astronome Simon Newcomb en 1881.
La loi
de Poisson