50 clés pour comprendre les maths
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L’autre jour, j’ai fait une petite expérience. J’ai lu le taux de change des devises
étrangères dans un quotidien national. Des taux de change tels que 2,119 indiquaient qu’il vous fallait 2,11 dollars pour acheter 1 livre sterling. De la même
manière, il vous fallait 1,59 euro pour acheter 1 livre et 15,39 dollars de Hong Kong
pour acheter 1 livre. Si l’on passe en revue les résultats de ces données, et si l’on
note le nombre de sorties de la première décimale, on obtient le tableau suivant :
Première décimale 1
2
3
4
5
6
7
8
9 Total
Nombre de sorties 18 10 3
1
3
5
7
2
1
50
Pourcentage (%)
36 20 6
2
6 10 14 4
2
100
Ces résultats corroborent la loi de Benford selon laquelle, pour certaines classes
de données, le chiffre 1 est la première décimale dont la fréquence de sortie est de
30 %, celle du nombre 2 est de 18 %, et ainsi de suite. Ce n’est certes pas la répartition uniforme observée dans les derniers chiffres des numéros de téléphone.
La raison pour laquelle un si grand nombre d’ensembles de données suivent la loi de
Benford n’est pas évidente. Au xix
e siècle, lorsque Simon Newcomb observa l’usure
des premières pages des tables logarithmiques, il aurait difficilement pu deviner
l’importance que prendrait cette loi.
Les exemples où l’on peut repérer la loi de Benford incluent les résultats d’événements sportifs, les cours de la Bourse, les numéros des maisons, les populations, et
la longueur des fleuves. Les unités de mesure importent peu : que les fleuves soient
mesurés en mètres ou en miles ne change rien. La loi de Benford a des applications
pratiques. Dès lors que l’on comprit que les données comptables suivaient cette loi,
il devint plus facile de repérer les renseignements incorrects et ainsi de détecter les
fraudes.
Les mots Parmi les nombreuses occupations de G. K. Zipf, figurait la pratique
inhabituelle qui consistait à compter les mots. Dans la langue anglaise, les plus
utilisés sont ces tout petits mots qui s’ordonnent ainsi :
Rang 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mot the
of
and
to
a
in
that it
is
was
Pour arriver à ce classement, on a pris un large échantillon parmi un éventail de
productions écrites diverses et on a tout simplement compté les mots. Le mot le
plus courant est placé au rang 1, le suivant au rang 2, et ainsi de suite. Il pourrait y
avoir de légères différences dans la course à la popularité si l’on prenait un éventail
de textes différents, mais sans plus.
Il n’est pas surprenant de voir que « the » est le mot le plus courant, et « of » le
deuxième mot le plus utilisé. La liste continue et peut-être serez-vous intéressé par
le fait que le terme « among » arrive en 500
e position et « neck » en 1 000
e position.
Nous ne considérerons que les dix premiers mots. Si vous prenez un texte au hasard
et comptez ces dix mots, vous trouverez à quelque chose près le même classement.
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L’autre jour, j’ai fait une petite expérience. J’ai lu le taux de change des devises
étrangères dans un quotidien national. Des taux de change tels que 2,119 indiquaient qu’il vous fallait 2,11 dollars pour acheter 1 livre sterling. De la même
manière, il vous fallait 1,59 euro pour acheter 1 livre et 15,39 dollars de Hong Kong
pour acheter 1 livre. Si l’on passe en revue les résultats de ces données, et si l’on
note le nombre de sorties de la première décimale, on obtient le tableau suivant :
Première décimale 1
2
3
4
5
6
7
8
9 Total
Nombre de sorties 18 10 3
1
3
5
7
2
1
50
Pourcentage (%)
36 20 6
2
6 10 14 4
2
100
Ces résultats corroborent la loi de Benford selon laquelle, pour certaines classes
de données, le chiffre 1 est la première décimale dont la fréquence de sortie est de
30 %, celle du nombre 2 est de 18 %, et ainsi de suite. Ce n’est certes pas la répartition uniforme observée dans les derniers chiffres des numéros de téléphone.
La raison pour laquelle un si grand nombre d’ensembles de données suivent la loi de
Benford n’est pas évidente. Au xix
e siècle, lorsque Simon Newcomb observa l’usure
des premières pages des tables logarithmiques, il aurait difficilement pu deviner
l’importance que prendrait cette loi.
Les exemples où l’on peut repérer la loi de Benford incluent les résultats d’événements sportifs, les cours de la Bourse, les numéros des maisons, les populations, et
la longueur des fleuves. Les unités de mesure importent peu : que les fleuves soient
mesurés en mètres ou en miles ne change rien. La loi de Benford a des applications
pratiques. Dès lors que l’on comprit que les données comptables suivaient cette loi,
il devint plus facile de repérer les renseignements incorrects et ainsi de détecter les
fraudes.
Les mots Parmi les nombreuses occupations de G. K. Zipf, figurait la pratique
inhabituelle qui consistait à compter les mots. Dans la langue anglaise, les plus
utilisés sont ces tout petits mots qui s’ordonnent ainsi :
Rang 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mot the
of
and
to
a
in
that it
is
was
Pour arriver à ce classement, on a pris un large échantillon parmi un éventail de
productions écrites diverses et on a tout simplement compté les mots. Le mot le
plus courant est placé au rang 1, le suivant au rang 2, et ainsi de suite. Il pourrait y
avoir de légères différences dans la course à la popularité si l’on prenait un éventail
de textes différents, mais sans plus.
Il n’est pas surprenant de voir que « the » est le mot le plus courant, et « of » le
deuxième mot le plus utilisé. La liste continue et peut-être serez-vous intéressé par
le fait que le terme « among » arrive en 500
e position et « neck » en 1 000
e position.
Nous ne considérerons que les dix premiers mots. Si vous prenez un texte au hasard
et comptez ces dix mots, vous trouverez à quelque chose près le même classement.