Le problème des anniversaires 133
Dans les années 1920
Bose considère la théorie de la lumière
d’Einstein comme un problème
d’occupation.
1939
Richard von Mises propose
le problème des anniversaires.
est le nombre de personnes pour lequel la probabilité est juste supérieure à 50 %, et
pour 22 personnes, la probabilité que deux personnes soient nées le même jour de
l’année est juste inférieure à 50 %. Le nombre 23 est la valeur critique. La réponse
au problème classique de l’anniversaire est surprenante, mais pour autant, ce n’est
pas un paradoxe.
Pouvons-nous le prouver ? Comment s’en convaincre ? Prenons une personne au hasard. La probabilité qu’une autre personne soit née le même jour de
l’année qu’elle est de 1/365 et donc la probabilité que ces deux personnes ne soient
pas nées le même jour de l’année est de 1 moins ce résultat (soit 364/365). La probabilité qu’une autre personne encore choisie au hasard soit née le même jour de
l’année que les deux premières est de 2/365, et donc la probabilité que cette personne ne soit pas née le même jour de l’année qu’aucune des deux autres est égale
à 1 moins ce résultat (soit 363/365). La probabilité qu’aucune de ces trois personnes
ne soit née le même jour de l’année est égale au produit de ces deux probabilités,
soit (364/365) × (363/365), soit 0,9918.
Si l’on continue selon ce même principe pour 4, 5, 6, … personnes, on dénoue le
paradoxe du problème de l’anniversaire. Lorsque l’on arrive à 23 personnes, une
calculatrice simple nous donne une probabilité de 0,4927 qu’aucune personne ne
soit née le même jour de l’année qu’une autre. La négation de « aucune personne
n’est née le même jour de l’année qu’une autre » est « au moins deux personnes sont
nées le même jour de l’année », et la probabilité est égale à 1 – 0,4927 = 0,5073 ce
qui est juste supérieur au résultat initial 1/2.
Si n = 22, la probabilité que deux personnes soient nées le même jour de l’année
est de 0,4757, ce qui est inférieur à 1/2. La nature apparemment paradoxale du
problème de l’anniversaire est liée au langage. On obtient une affirmation à propos
de deux personnes nées le même jour de l’année mais on ne sait rien de ces deux
personnes. On ignore tout de cette date commune d’anniversaire. Si M. Trevor
Thomson, qui est né le 8 mars, se trouve dans la pièce, une question différente peut
être posée.
Combien d’anniversaires coïncident avec celui de M. Thomson ? Pour
ce problème, le calcul est différent. La probabilité que M. Thomson ne soit pas né le
même jour de l’année qu’une autre personne est de 364/365, de sorte que la probabilité
qu’il ne soit pas né le même jour qu’aucune des personnes présentes est de (364/365)
n – 1
.
La probabilité que M. Thomson ne soit pas né le même jour de l’année que quelqu’un
d’autre est donc de 1 moins ce résultat.
Si on effectue le calcul pour n = 23, cette probabilité n’est que de 0,061151 et il
n’y a donc que 6 % de chances que quelqu’un d’autre soit né le 8 mars, comme
Dans les années 1920
Bose considère la théorie de la lumière
d’Einstein comme un problème
d’occupation.
1939
Richard von Mises propose
le problème des anniversaires.
est le nombre de personnes pour lequel la probabilité est juste supérieure à 50 %, et
pour 22 personnes, la probabilité que deux personnes soient nées le même jour de
l’année est juste inférieure à 50 %. Le nombre 23 est la valeur critique. La réponse
au problème classique de l’anniversaire est surprenante, mais pour autant, ce n’est
pas un paradoxe.
Pouvons-nous le prouver ? Comment s’en convaincre ? Prenons une personne au hasard. La probabilité qu’une autre personne soit née le même jour de
l’année qu’elle est de 1/365 et donc la probabilité que ces deux personnes ne soient
pas nées le même jour de l’année est de 1 moins ce résultat (soit 364/365). La probabilité qu’une autre personne encore choisie au hasard soit née le même jour de
l’année que les deux premières est de 2/365, et donc la probabilité que cette personne ne soit pas née le même jour de l’année qu’aucune des deux autres est égale
à 1 moins ce résultat (soit 363/365). La probabilité qu’aucune de ces trois personnes
ne soit née le même jour de l’année est égale au produit de ces deux probabilités,
soit (364/365) × (363/365), soit 0,9918.
Si l’on continue selon ce même principe pour 4, 5, 6, … personnes, on dénoue le
paradoxe du problème de l’anniversaire. Lorsque l’on arrive à 23 personnes, une
calculatrice simple nous donne une probabilité de 0,4927 qu’aucune personne ne
soit née le même jour de l’année qu’une autre. La négation de « aucune personne
n’est née le même jour de l’année qu’une autre » est « au moins deux personnes sont
nées le même jour de l’année », et la probabilité est égale à 1 – 0,4927 = 0,5073 ce
qui est juste supérieur au résultat initial 1/2.
Si n = 22, la probabilité que deux personnes soient nées le même jour de l’année
est de 0,4757, ce qui est inférieur à 1/2. La nature apparemment paradoxale du
problème de l’anniversaire est liée au langage. On obtient une affirmation à propos
de deux personnes nées le même jour de l’année mais on ne sait rien de ces deux
personnes. On ignore tout de cette date commune d’anniversaire. Si M. Trevor
Thomson, qui est né le 8 mars, se trouve dans la pièce, une question différente peut
être posée.
Combien d’anniversaires coïncident avec celui de M. Thomson ? Pour
ce problème, le calcul est différent. La probabilité que M. Thomson ne soit pas né le
même jour de l’année qu’une autre personne est de 364/365, de sorte que la probabilité
qu’il ne soit pas né le même jour qu’aucune des personnes présentes est de (364/365)
n – 1
.
La probabilité que M. Thomson ne soit pas né le même jour de l’année que quelqu’un
d’autre est donc de 1 moins ce résultat.
Si on effectue le calcul pour n = 23, cette probabilité n’est que de 0,061151 et il
n’y a donc que 6 % de chances que quelqu’un d’autre soit né le 8 mars, comme