La théorie de Bayes 131
Un juré vient d’entendre une affaire au tribunal et a décidé que la probabilité que
l’accusé soit coupable est d’environ 1 sur 100. Au cours des délibérations, les jurés
sont rappelés à la cour pour entendre d’autres preuves émanant de l’accusation. On a
retrouvé une arme dans la maison de l’accusé, et l’avocat du ministère public affirme
que la probabilité de la retrouver est de 0,95 si le prisonnier est coupable, mais s’il est
innocent, la probabilité n’est plus que de 0,1. La probabilité de retrouver une arme dans
la maison du prisonnier est donc beaucoup plus élevée si le prisonnier est coupable
que s’il est innocent. Le problème pour le juré est donc de savoir comment modifier
son opinion à la lumière de ce nouvel élément. On utilise notre notation à nouveau, et
on note C l’événement « le prisonnier est coupable » et D l’événement « on détient de
nouvelles preuves ». Le juré a estimé au départ que P(C) =
1
/ 100 = 0,01. Cette probabilité
s’appelle la probabilité antérieure. La probabilité de « réévaluation » P(C/D) est la probabilité de la culpabilité après correction suite à l’apport d’une nouvelle preuve D. On
l’appelle la probabilité postérieure. La formule de Bayes sous la forme
P(D/C)
P(C/D) = ––––– × P(C)
P(D)
montre l’idée d’une probabilité antérieure mise à jour par la probabilité postérieure
P(C/D). De la même façon que l’on a calculé P(B) dans l’exemple médical, on peut
calculer P(D) et, en remplaçant ce résultat dans la formule de Bayes, on obtient :
0,95
P(C/D) = –––––––––––––––– × 0,01 = 0,088.
0,95 × 0,01 + 0,1 × 0,99
Voilà qui est embarrassant pour le juré car l’estimation initiale de 1% de probabilité
a presque atteint 9 %. Si l’accusation était allée plus loin en déclarant que la probabilité de trouver l’arme compromettante était d’au moins 0,99 si le prisonnier est
coupable, mais seulement de 0,01 % s’il est innocent, alors, en reprenant la formule
de Bayes, notre juré devrait réviser son opinion et la faire passer de 1 % à 50 %.
L’utilisation de la formule de Bayes dans de telles situations a fait l’objet de critiques. Le reproche principal concerne la manière dont on obtient la probabilité
antérieure. L’analyse de Bayes présente quand même l’avantage de procurer une
méthode qui permet de traiter les probabilités subjectives puis de les réviser en
prenant appui sur des preuves. La méthode Bayésienne a des applications dans des
domaines aussi divers que la science, les prévisions météorologiques et la justice
criminelle. Ses partisans mettent en avant sa rigueur et son aspect pratique lorsqu’il
s’agit de traiter l’incertitude. Elle a effectivement de nombreux atouts.
l’idée clé
Réévaluation des certitudes
à l’aide de preuves
Un juré vient d’entendre une affaire au tribunal et a décidé que la probabilité que
l’accusé soit coupable est d’environ 1 sur 100. Au cours des délibérations, les jurés
sont rappelés à la cour pour entendre d’autres preuves émanant de l’accusation. On a
retrouvé une arme dans la maison de l’accusé, et l’avocat du ministère public affirme
que la probabilité de la retrouver est de 0,95 si le prisonnier est coupable, mais s’il est
innocent, la probabilité n’est plus que de 0,1. La probabilité de retrouver une arme dans
la maison du prisonnier est donc beaucoup plus élevée si le prisonnier est coupable
que s’il est innocent. Le problème pour le juré est donc de savoir comment modifier
son opinion à la lumière de ce nouvel élément. On utilise notre notation à nouveau, et
on note C l’événement « le prisonnier est coupable » et D l’événement « on détient de
nouvelles preuves ». Le juré a estimé au départ que P(C) =
1
/ 100 = 0,01. Cette probabilité
s’appelle la probabilité antérieure. La probabilité de « réévaluation » P(C/D) est la probabilité de la culpabilité après correction suite à l’apport d’une nouvelle preuve D. On
l’appelle la probabilité postérieure. La formule de Bayes sous la forme
P(D/C)
P(C/D) = ––––– × P(C)
P(D)
montre l’idée d’une probabilité antérieure mise à jour par la probabilité postérieure
P(C/D). De la même façon que l’on a calculé P(B) dans l’exemple médical, on peut
calculer P(D) et, en remplaçant ce résultat dans la formule de Bayes, on obtient :
0,95
P(C/D) = –––––––––––––––– × 0,01 = 0,088.
0,95 × 0,01 + 0,1 × 0,99
Voilà qui est embarrassant pour le juré car l’estimation initiale de 1% de probabilité
a presque atteint 9 %. Si l’accusation était allée plus loin en déclarant que la probabilité de trouver l’arme compromettante était d’au moins 0,99 si le prisonnier est
coupable, mais seulement de 0,01 % s’il est innocent, alors, en reprenant la formule
de Bayes, notre juré devrait réviser son opinion et la faire passer de 1 % à 50 %.
L’utilisation de la formule de Bayes dans de telles situations a fait l’objet de critiques. Le reproche principal concerne la manière dont on obtient la probabilité
antérieure. L’analyse de Bayes présente quand même l’avantage de procurer une
méthode qui permet de traiter les probabilités subjectives puis de les réviser en
prenant appui sur des preuves. La méthode Bayésienne a des applications dans des
domaines aussi divers que la science, les prévisions météorologiques et la justice
criminelle. Ses partisans mettent en avant sa rigueur et son aspect pratique lorsqu’il
s’agit de traiter l’incertitude. Elle a effectivement de nombreux atouts.
l’idée clé
Réévaluation des certitudes
à l’aide de preuves