50 clés pour comprendre les maths
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docteur aura aussi une idée de la proportion de personnes dans la population qui
ont la rougeole, disons 20 %, ce qui s’écrit P(A) = 0,2. Le seul renseignement dont
nous avons besoin est P(B), la proportion de personnes dans la population qui a des
boutons. Maintenant, la probabilité qu’une personne ait des boutons est égale à la
probabilité qu’une personne ait à la fois la rougeole et des boutons à laquelle
s’ajoute la probabilité que quelqu’un n’ait pas la rougeole mais ait des boutons.
À partir de nos relations clés, on obtient
P(B) = 0,9 × 0,2 + 0,15 × 0,8 = 0,3.
Avec ces valeurs, la formule de Bayes fournit :
0,2
P(A/B) = — × 0,9 = 0,6
0,3
On en conclut que lorsqu’il examine les patients avec des boutons, le docteur fait
un diagnostic correct de la rougeole dans 60 % des cas. Supposons maintenant que
le docteur dispose de renseignements supplémentaires sur la souche du virus de
sorte que la probabilité de détecter correctement la maladie augmente. Autrement
dit, P(B/A), la probabilité d’avoir des boutons à cause de la rougeole, passe de 0,9 à
0,95, et P(B/A–), la probabilité que la présence de boutons ait une origine différente,
passe de 0,15 à 0,1. Comment ce changement améliore-t-il son taux de détection de
la rougeole ? Quelle est la nouvelle P(A/B)? Avec ces nouvelles données on a
P(B) = 0,95 × 0,2 + 0,1 × 0,8 = 0,27.
et la formule de Bayes entraîne
0,2
P(A/B) = —– × 0,95 = 0,704.
0,27
Le docteur peut maintenant détecter 70 % des cas grâce à ces renseignements supplémentaires. Si les probabilités passaient respectivement à 0,99 et 0,01 alors la
probabilité de la détection, P(A/B), passerait à 0,961 et ses chances de faire un diagnostic correct dans ce cas seraient donc de 96 %.
Les Bayésiens modernes Le statisticien traditionnel aurait peu à redire
quant à l’utilisation de la formule de Bayes lorsque la probabilité peut être mesurée.
Le point litigieux porte sur ces probabilités auxquelles on attribue des degrés de
certitude, et que l’on qualifie parfois de probabilités subjectives.
Dans une cour de justice, on tranche parfois les problèmes de culpabilité ou d’innocence en ayant recours au principe de « l’équilibre des probabilités ». Pour le statisticien fréquentiste, parler de la probabilité qu’un prisonnier soit coupable d’un crime
manque de sens. Il en va différemment avec le Bayésien pour lequel il n’est pas
gênant de prendre en compte des impressions. Comment est-ce que cela marche ?
Si nous devions utiliser la méthode de l’équilibre des probabilités pour décider de la
culpabilité et de l’innocence, on pourrait voir que l’on peut jongler avec les probabilités. Voici un scénario possible.
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docteur aura aussi une idée de la proportion de personnes dans la population qui
ont la rougeole, disons 20 %, ce qui s’écrit P(A) = 0,2. Le seul renseignement dont
nous avons besoin est P(B), la proportion de personnes dans la population qui a des
boutons. Maintenant, la probabilité qu’une personne ait des boutons est égale à la
probabilité qu’une personne ait à la fois la rougeole et des boutons à laquelle
s’ajoute la probabilité que quelqu’un n’ait pas la rougeole mais ait des boutons.
À partir de nos relations clés, on obtient
P(B) = 0,9 × 0,2 + 0,15 × 0,8 = 0,3.
Avec ces valeurs, la formule de Bayes fournit :
0,2
P(A/B) = — × 0,9 = 0,6
0,3
On en conclut que lorsqu’il examine les patients avec des boutons, le docteur fait
un diagnostic correct de la rougeole dans 60 % des cas. Supposons maintenant que
le docteur dispose de renseignements supplémentaires sur la souche du virus de
sorte que la probabilité de détecter correctement la maladie augmente. Autrement
dit, P(B/A), la probabilité d’avoir des boutons à cause de la rougeole, passe de 0,9 à
0,95, et P(B/A–), la probabilité que la présence de boutons ait une origine différente,
passe de 0,15 à 0,1. Comment ce changement améliore-t-il son taux de détection de
la rougeole ? Quelle est la nouvelle P(A/B)? Avec ces nouvelles données on a
P(B) = 0,95 × 0,2 + 0,1 × 0,8 = 0,27.
et la formule de Bayes entraîne
0,2
P(A/B) = —– × 0,95 = 0,704.
0,27
Le docteur peut maintenant détecter 70 % des cas grâce à ces renseignements supplémentaires. Si les probabilités passaient respectivement à 0,99 et 0,01 alors la
probabilité de la détection, P(A/B), passerait à 0,961 et ses chances de faire un diagnostic correct dans ce cas seraient donc de 96 %.
Les Bayésiens modernes Le statisticien traditionnel aurait peu à redire
quant à l’utilisation de la formule de Bayes lorsque la probabilité peut être mesurée.
Le point litigieux porte sur ces probabilités auxquelles on attribue des degrés de
certitude, et que l’on qualifie parfois de probabilités subjectives.
Dans une cour de justice, on tranche parfois les problèmes de culpabilité ou d’innocence en ayant recours au principe de « l’équilibre des probabilités ». Pour le statisticien fréquentiste, parler de la probabilité qu’un prisonnier soit coupable d’un crime
manque de sens. Il en va différemment avec le Bayésien pour lequel il n’est pas
gênant de prendre en compte des impressions. Comment est-ce que cela marche ?
Si nous devions utiliser la méthode de l’équilibre des probabilités pour décider de la
culpabilité et de l’innocence, on pourrait voir que l’on peut jongler avec les probabilités. Voici un scénario possible.