La théorie de Bayes 129
1950
Jimmy Savage et
Dennis Lindley lancent
le mouvement moderne
Bayésien.
Dans les années 1950
Le terme Bayésien est employé pour
la première fois.
1992
Fondation de la Société
internationale pour
l’analyse bayésienne
(International Society for
Bayesian Analysis).
sont « inverses » l’une de l’autre. La formule de Bayes permet de calculer une probabilité à partir de l’autre. Ce dont les mathématiciens
raffolent, c’est utiliser des notations pour représenter des choses.
Appelons donc A l’événement « avoir la rougeole » et B l’événement
« avoir des boutons ». L’événement A est l’événement « ne pas avoir
la rougeole » et B est l’événement « ne pas avoir de boutons ». Un
diagramme de Venn en donne une bonne représentation.
Ce diagramme indique au Dr Why que x patients ont à la fois la
rougeole et des boutons, a patients ont la rougeole, et qu’il y a N
patients en tout. Ce diagramme nous montre que la probabilité
qu’un patient ait à la fois la rougeole et des boutons est simplement
de x/N, alors que la probabilité qu’un patient ait la rougeole est
de a/N. La probabilité conditionnelle, la probabilité qu’un patient
ait des boutons sachant qu’il a la rougeole, probabilité qui s’écrit
P(B/A), est de x/a. S’il réunit toutes ces informations, le Dr Why peut
trouver la probabilité qu’un patient ait à la fois la rougeole et des boutons :
x
x
a
P(A ∙ B) = — = — × —
N
a
N
ou
P(A ∙ B) = P(B/A) × P(A)
et de la même façon
P(A ∙ B) = P(A/B) × P(B)
La formule de Bayes La mise en équation des expressions pour P(A ∩ B)
donne la formule de Bayes, qui établit la relation entre la probabilité conditionnelle
et son « inverse ». Le Dr Why aura une bonne idée de P(B/A), c’est-à-dire de la probabilité qu’un patient ait des boutons sachant qu’il a la rougeole. Ce qui intéresse
vraiment le Dr Why, c’est la probabilité conditionnelle de « l’inverse », à savoir sa capacité à évaluer la
probabilité qu’un patient ait la rougeole sachant
qu’il a des boutons. C’est donc du problème inverse
qu’il s’agit, et c’est le type même de problème que Bayes traite dans son essai. Pour
trouver les probabilités qui nous intéressent ici, il faut utiliser quelques nombres.
Ils seront subjectifs mais l’important est de voir comment ils se combinent. La probabilité que des patients aient des boutons sachant qu’ils ont la rougeole est élevée,
disons 0,9, ce qui donne au docteur une bonne idée de la situation. Le fringant
La formule
de Bayes
P(A)
P(A/B) = — X P(B/A)
P(B)
Représentation
du problème
des boutons et de
la rougeole par
un diagramme
de Venn
x
N
a
A
A
–
B
–
B
1950
Jimmy Savage et
Dennis Lindley lancent
le mouvement moderne
Bayésien.
Dans les années 1950
Le terme Bayésien est employé pour
la première fois.
1992
Fondation de la Société
internationale pour
l’analyse bayésienne
(International Society for
Bayesian Analysis).
sont « inverses » l’une de l’autre. La formule de Bayes permet de calculer une probabilité à partir de l’autre. Ce dont les mathématiciens
raffolent, c’est utiliser des notations pour représenter des choses.
Appelons donc A l’événement « avoir la rougeole » et B l’événement
« avoir des boutons ». L’événement A est l’événement « ne pas avoir
la rougeole » et B est l’événement « ne pas avoir de boutons ». Un
diagramme de Venn en donne une bonne représentation.
Ce diagramme indique au Dr Why que x patients ont à la fois la
rougeole et des boutons, a patients ont la rougeole, et qu’il y a N
patients en tout. Ce diagramme nous montre que la probabilité
qu’un patient ait à la fois la rougeole et des boutons est simplement
de x/N, alors que la probabilité qu’un patient ait la rougeole est
de a/N. La probabilité conditionnelle, la probabilité qu’un patient
ait des boutons sachant qu’il a la rougeole, probabilité qui s’écrit
P(B/A), est de x/a. S’il réunit toutes ces informations, le Dr Why peut
trouver la probabilité qu’un patient ait à la fois la rougeole et des boutons :
x
x
a
P(A ∙ B) = — = — × —
N
a
N
ou
P(A ∙ B) = P(B/A) × P(A)
et de la même façon
P(A ∙ B) = P(A/B) × P(B)
La formule de Bayes La mise en équation des expressions pour P(A ∩ B)
donne la formule de Bayes, qui établit la relation entre la probabilité conditionnelle
et son « inverse ». Le Dr Why aura une bonne idée de P(B/A), c’est-à-dire de la probabilité qu’un patient ait des boutons sachant qu’il a la rougeole. Ce qui intéresse
vraiment le Dr Why, c’est la probabilité conditionnelle de « l’inverse », à savoir sa capacité à évaluer la
probabilité qu’un patient ait la rougeole sachant
qu’il a des boutons. C’est donc du problème inverse
qu’il s’agit, et c’est le type même de problème que Bayes traite dans son essai. Pour
trouver les probabilités qui nous intéressent ici, il faut utiliser quelques nombres.
Ils seront subjectifs mais l’important est de voir comment ils se combinent. La probabilité que des patients aient des boutons sachant qu’ils ont la rougeole est élevée,
disons 0,9, ce qui donne au docteur une bonne idée de la situation. Le fringant
La formule
de Bayes
P(A)
P(A/B) = — X P(B/A)
P(B)
Représentation
du problème
des boutons et de
la rougeole par
un diagramme
de Venn
x
N
a
A
A
–
B
–
B