50 clés pour comprendre les maths
126
Considérons « l’événement » A qui consiste à
obtenir une somme de 7 avec les dés. Six combinaisons peuvent donner ce résultat, et on peut donc
décrire l’événement comme suit :
A = {(1,6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
On l’entoure ensuite dans le diagramme. La probabilité de l’événement A est de 6 sur 36, ce qui
peut s’écrire P(A) = 6/36 = 1/6. Si l’événement B
consiste à obtenir une somme de 11 avec les dés, on
a B = {(5, 6), (6, 5)} et P(B) = 2/36 = 1/18.
Au jeu du lancer de dés, qui se joue avec deux dés
que l’on lance d’un bout à l’autre d’une table, on
peut perdre ou gagner dès le premier lancer, mais
dans certains cas, tout n’est pas perdu et on peut
effectuer un deuxième lancer. On gagne au premier
lancer si l’un des événements A ou B se produit : c’est ce que l’on appelle un
« naturel ». Comme les événements A et B sont incompatibles (c’est-à-dire qu’ils
n’ont aucun élément en commun), la probabilité d’obtenir un naturel s’obtient
en additionnant les probabilités individuelles, 6/36 + 2/36 = 8/36. On perd dès le
premier lancer si l’on obtient 2, 3 ou 12 (on appelle cela jouer un « craps »). Avec
un calcul comme ci-dessus, la probabilité de perdre dès le départ est égale à 4/36.
Si l’on obtient une somme de 4, 5, 6, 8, 9 ou 10, on lance les dés à nouveau et la
probabilité de réussir est de 24/36 = 2/3.
Dans le monde des joueurs, on parle de cotes et non de probabilités. À ce jeu de
dés, chaque fois que l’on joue 36 parties, on gagne 8 fois en moyenne au premier
lancer et on perd 28 fois. Les chances de perdre au premier lancer sont donc de 28
contre 8, soit 3,5 contre 1.
Le singe sur une machine à écrire Alfred est un singe qui vit dans le
zoo du coin. Il a une vieille machine à écrire toute cabossée avec 26 touches pour
les lettres de l’alphabet, une touche pour le point, une pour la virgule, une pour le
point d’interrogation et une pour faire les espaces, soit 30 touches au total. Il est
assis dans un coin tout empreint de ses ambitions littéraires, mais sa méthode de
travail est curieuse car il tape sur les touches au hasard.
Quelle que soit la suite de lettres qu’il tapera, elle aura une probabilité non
nulle de se produire. Il y a donc une probabilité qu’il retranscrive les pièces de
Shakespeare au mot près. Plus que cela, il y a une probabilité (plus faible cependant) qu’il enchaîne avec une traduction en français, puis en espagnol et pour
finir, en allemand. On pourrait, pour le plaisir, prendre en compte la probabilité
qu’il poursuive avec les poèmes de William Wordsworth. La probabilité est très
faible, mais elle n’est certainement pas nulle. C’est là le point essentiel. Voyons
combien de temps il lui faudrait pour taper le monologue de Hamlet à partir
A
B
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
dé rouge
dé bleu
Univers des
possibles
(pour 2 dés)
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Considérons « l’événement » A qui consiste à
obtenir une somme de 7 avec les dés. Six combinaisons peuvent donner ce résultat, et on peut donc
décrire l’événement comme suit :
A = {(1,6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
On l’entoure ensuite dans le diagramme. La probabilité de l’événement A est de 6 sur 36, ce qui
peut s’écrire P(A) = 6/36 = 1/6. Si l’événement B
consiste à obtenir une somme de 11 avec les dés, on
a B = {(5, 6), (6, 5)} et P(B) = 2/36 = 1/18.
Au jeu du lancer de dés, qui se joue avec deux dés
que l’on lance d’un bout à l’autre d’une table, on
peut perdre ou gagner dès le premier lancer, mais
dans certains cas, tout n’est pas perdu et on peut
effectuer un deuxième lancer. On gagne au premier
lancer si l’un des événements A ou B se produit : c’est ce que l’on appelle un
« naturel ». Comme les événements A et B sont incompatibles (c’est-à-dire qu’ils
n’ont aucun élément en commun), la probabilité d’obtenir un naturel s’obtient
en additionnant les probabilités individuelles, 6/36 + 2/36 = 8/36. On perd dès le
premier lancer si l’on obtient 2, 3 ou 12 (on appelle cela jouer un « craps »). Avec
un calcul comme ci-dessus, la probabilité de perdre dès le départ est égale à 4/36.
Si l’on obtient une somme de 4, 5, 6, 8, 9 ou 10, on lance les dés à nouveau et la
probabilité de réussir est de 24/36 = 2/3.
Dans le monde des joueurs, on parle de cotes et non de probabilités. À ce jeu de
dés, chaque fois que l’on joue 36 parties, on gagne 8 fois en moyenne au premier
lancer et on perd 28 fois. Les chances de perdre au premier lancer sont donc de 28
contre 8, soit 3,5 contre 1.
Le singe sur une machine à écrire Alfred est un singe qui vit dans le
zoo du coin. Il a une vieille machine à écrire toute cabossée avec 26 touches pour
les lettres de l’alphabet, une touche pour le point, une pour la virgule, une pour le
point d’interrogation et une pour faire les espaces, soit 30 touches au total. Il est
assis dans un coin tout empreint de ses ambitions littéraires, mais sa méthode de
travail est curieuse car il tape sur les touches au hasard.
Quelle que soit la suite de lettres qu’il tapera, elle aura une probabilité non
nulle de se produire. Il y a donc une probabilité qu’il retranscrive les pièces de
Shakespeare au mot près. Plus que cela, il y a une probabilité (plus faible cependant) qu’il enchaîne avec une traduction en français, puis en espagnol et pour
finir, en allemand. On pourrait, pour le plaisir, prendre en compte la probabilité
qu’il poursuive avec les poèmes de William Wordsworth. La probabilité est très
faible, mais elle n’est certainement pas nulle. C’est là le point essentiel. Voyons
combien de temps il lui faudrait pour taper le monologue de Hamlet à partir
A
B
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
dé rouge
dé bleu
Univers des
possibles
(pour 2 dés)