Les systèmes de nombres 11
ce qui peut s’écrire 0,572 avec une virgule qui indique le début des puissances
négatives de 10. Si l’on ajoute ce résultat à la notation décimale de 394, on obtient
l’expansion décimale du nombre 394
572
/ 1 000 , c’est-à-dire 394,572 tout simplement.
Pour les très grands nombres, la notation décimale est parfois très longue, c’est
pourquoi l’on revient dans ce cas à la « notation scientifique ». Par exemple,
1 356 936 892 peut s’écrire 1,356 936 892 × 10
9 qui apparaît souvent sous la forme
« 1,356 936 892 × 10E9 » sur les calculatrices ou les ordinateurs. Dans cet exemple,
la puissance 9 correspond au nombre de chiffres contenus dans le nombre moins
1 et la lettre E signifie « exposant ». Il nous arrive parfois de vouloir utiliser de plus
grands nombres encore, par exemple pour parler du nombre d’atomes d’hydrogène que contient l’univers connu. On l’estime à environ 1,7 × 10
77
. De la même
manière, 1,7 × 10
–77
, avec une puissance négative, est un très petit nombre qui est
lui aussi facile à utiliser avec cette notation scientifique. On ne pourrait même pas
imaginer ces nombres si l’on ne disposait que des symboles romains.
Les zéros et les uns Alors que la base 10 est parfaitement établie dans notre
vie quotidienne, quelques applications nécessitent d’autres bases. Le système binaire
qui utilise la base 2 se dissimule derrière notre puissant ordinateur moderne. La
beauté de ce système réside dans le fait que l’on peut exprimer un nombre quel qu’il
soit à l’aide des seuls symboles 0 et 1. En contrepartie de cette économie, les nombres
écrits en base deux peuvent être très longs.
Comment écrire 394 en base 2 ? Cette fois, nous traitons de puissances de 2 et après
quelques calculs, nous pouvons donner l’expression complète comme suit,
394 = 1 × 256 + 1 × 128 + 0 × 64 + 0 × 32 + 0 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1
de sorte que, si on relève les zéros et les uns, 394 s’écrit
110001010 en base 2.
Comme les notations des nombres en base 2 peuvent être très
longues, d’autres bases sont fréquemment utilisées en informatique. Il s’agit du système octal (base 8) et du système hexadécimal (base 16). Dans le système octal, seuls les symboles 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sont nécessaires, alors que le système hexadécimal utilise 16 symboles. Dans ce système en base 16, on
utilise généralement 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Étant donné que 10 correspond à la lettre A, le nombre 394
s’écrit 18A en base hexadécimale. C’est l’ABC du système, ABC
qui, dans le système décimal, équivaut à 2748, pensez-y !
Puissances
Écriture
de 2
décimale
2
0
1
2
1
2
2
2
4
2
3
8
2
4
16
2
5
32
2
6
64
2
7
128
2
8
256
2
9
512
2
10
1 024
l’idée clé
Notation des nombres
ce qui peut s’écrire 0,572 avec une virgule qui indique le début des puissances
négatives de 10. Si l’on ajoute ce résultat à la notation décimale de 394, on obtient
l’expansion décimale du nombre 394
572
/ 1 000 , c’est-à-dire 394,572 tout simplement.
Pour les très grands nombres, la notation décimale est parfois très longue, c’est
pourquoi l’on revient dans ce cas à la « notation scientifique ». Par exemple,
1 356 936 892 peut s’écrire 1,356 936 892 × 10
9 qui apparaît souvent sous la forme
« 1,356 936 892 × 10E9 » sur les calculatrices ou les ordinateurs. Dans cet exemple,
la puissance 9 correspond au nombre de chiffres contenus dans le nombre moins
1 et la lettre E signifie « exposant ». Il nous arrive parfois de vouloir utiliser de plus
grands nombres encore, par exemple pour parler du nombre d’atomes d’hydrogène que contient l’univers connu. On l’estime à environ 1,7 × 10
77
. De la même
manière, 1,7 × 10
–77
, avec une puissance négative, est un très petit nombre qui est
lui aussi facile à utiliser avec cette notation scientifique. On ne pourrait même pas
imaginer ces nombres si l’on ne disposait que des symboles romains.
Les zéros et les uns Alors que la base 10 est parfaitement établie dans notre
vie quotidienne, quelques applications nécessitent d’autres bases. Le système binaire
qui utilise la base 2 se dissimule derrière notre puissant ordinateur moderne. La
beauté de ce système réside dans le fait que l’on peut exprimer un nombre quel qu’il
soit à l’aide des seuls symboles 0 et 1. En contrepartie de cette économie, les nombres
écrits en base deux peuvent être très longs.
Comment écrire 394 en base 2 ? Cette fois, nous traitons de puissances de 2 et après
quelques calculs, nous pouvons donner l’expression complète comme suit,
394 = 1 × 256 + 1 × 128 + 0 × 64 + 0 × 32 + 0 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1
de sorte que, si on relève les zéros et les uns, 394 s’écrit
110001010 en base 2.
Comme les notations des nombres en base 2 peuvent être très
longues, d’autres bases sont fréquemment utilisées en informatique. Il s’agit du système octal (base 8) et du système hexadécimal (base 16). Dans le système octal, seuls les symboles 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sont nécessaires, alors que le système hexadécimal utilise 16 symboles. Dans ce système en base 16, on
utilise généralement 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Étant donné que 10 correspond à la lettre A, le nombre 394
s’écrit 18A en base hexadécimale. C’est l’ABC du système, ABC
qui, dans le système décimal, équivaut à 2748, pensez-y !
Puissances
Écriture
de 2
décimale
2
0
1
2
1
2
2
2
4
2
3
8
2
4
16
2
5
32
2
6
64
2
7
128
2
8
256
2
9
512
2
10
1 024
l’idée clé
Notation des nombres