50 clés pour comprendre les maths
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Le plan de Fano La géométrie du plan de Fano fut découverte
à peu près à la même époque que la formule de Pick, mais elle n’a
rien à voir avec des mesures de quoi que ce soit. Nommée ainsi
d’après le mathématicien Gino Fano qui ouvrit la voie dans l’étude
de la géométrie finie, le plan de Fano est l’exemple le plus simple
de géométrie « projective ». Elle ne comporte que sept points et
sept droites.
Les sept points sont appelés A, B, C, D, E, F et G. Il est facile de distinguer six des sept droites, mais où est la septième ? Les propriétés
de la géométrie et la configuration du diagramme nous obligent à
prendre pour septième droite DFG, puisque le cercle passe par C, D,
F et G. Ce n’est pas un problème puisqu’en géométrie discrète, il n’est pas nécessaire
que les droites soient « droites » au sens conventionnel.
Cette petite géométrie a de nombreuses propriétés. Par exemple :
• chaque paire de points détermine une droite qui passe par ces deux points,
• chaque paire de droites détermine un point qui se trouve sur ces deux droites.
Ces deux propriétés illustrent la dualité remarquable qui se produit dans les géométries de ce type. La deuxième propriété est en fait la première dont on a inversé les
mots « point » et « droite », et de la même façon, la première propriété est la deuxième avec la même inversion de mots.
Si, dans une proposition quelconque, on inverse les deux mots et si l’on procède à
de petits ajustements pour corriger le vocabulaire, on obtient une autre proposition
vraie. La géométrie projective est très symétrique. La géométrie euclidienne ne l’est
pas autant. Dans la géométrie euclidienne, nous avons des droites parallèles, c’està-dire des paires de droites qui ne se rencontrent jamais. On peut sans souci parler
du concept de parallélisme dans la géométrie euclidienne. C’est
impossible en géométrie projective où toutes les paires de droites
se rencontrent en un point. Pour les mathématiciens, cela signifie
que la géométrie euclidienne est une géométrie de type inférieur.
Si l’on enlève une droite mais aussi tous les points du plan de
Fano, on revient dans la géométrie euclidienne non symétrique
où existent des droites parallèles. Supposons que l’on enlève la
droite « circulaire » DFG pour obtenir un diagramme euclidien.
Cette droite en moins, il en reste six : (AB), (AC), (AE), (BC), (BE)
et (CE). Il y a maintenant des paires de droites « parallèles », à
savoir (AB) et (CE), (AC) et (BE), (BC) et (AE). Les droites sont
parallèles au sens où elles n’ont aucun point en commun, de la
même manière que les droites (AB) et (CE).
Le plan de Fano fait figure d’icône en mathématiques pour toutes les idées et applications auxquelles il est lié. Il apporte une solution au problème des 15 pensionnaires
Vision
euclidienne
du plan de Fano
C
A
B
E
Le plan de Fano
C
G
B
F
A
D
E
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Le plan de Fano La géométrie du plan de Fano fut découverte
à peu près à la même époque que la formule de Pick, mais elle n’a
rien à voir avec des mesures de quoi que ce soit. Nommée ainsi
d’après le mathématicien Gino Fano qui ouvrit la voie dans l’étude
de la géométrie finie, le plan de Fano est l’exemple le plus simple
de géométrie « projective ». Elle ne comporte que sept points et
sept droites.
Les sept points sont appelés A, B, C, D, E, F et G. Il est facile de distinguer six des sept droites, mais où est la septième ? Les propriétés
de la géométrie et la configuration du diagramme nous obligent à
prendre pour septième droite DFG, puisque le cercle passe par C, D,
F et G. Ce n’est pas un problème puisqu’en géométrie discrète, il n’est pas nécessaire
que les droites soient « droites » au sens conventionnel.
Cette petite géométrie a de nombreuses propriétés. Par exemple :
• chaque paire de points détermine une droite qui passe par ces deux points,
• chaque paire de droites détermine un point qui se trouve sur ces deux droites.
Ces deux propriétés illustrent la dualité remarquable qui se produit dans les géométries de ce type. La deuxième propriété est en fait la première dont on a inversé les
mots « point » et « droite », et de la même façon, la première propriété est la deuxième avec la même inversion de mots.
Si, dans une proposition quelconque, on inverse les deux mots et si l’on procède à
de petits ajustements pour corriger le vocabulaire, on obtient une autre proposition
vraie. La géométrie projective est très symétrique. La géométrie euclidienne ne l’est
pas autant. Dans la géométrie euclidienne, nous avons des droites parallèles, c’està-dire des paires de droites qui ne se rencontrent jamais. On peut sans souci parler
du concept de parallélisme dans la géométrie euclidienne. C’est
impossible en géométrie projective où toutes les paires de droites
se rencontrent en un point. Pour les mathématiciens, cela signifie
que la géométrie euclidienne est une géométrie de type inférieur.
Si l’on enlève une droite mais aussi tous les points du plan de
Fano, on revient dans la géométrie euclidienne non symétrique
où existent des droites parallèles. Supposons que l’on enlève la
droite « circulaire » DFG pour obtenir un diagramme euclidien.
Cette droite en moins, il en reste six : (AB), (AC), (AE), (BC), (BE)
et (CE). Il y a maintenant des paires de droites « parallèles », à
savoir (AB) et (CE), (AC) et (BE), (BC) et (AE). Les droites sont
parallèles au sens où elles n’ont aucun point en commun, de la
même manière que les droites (AB) et (CE).
Le plan de Fano fait figure d’icône en mathématiques pour toutes les idées et applications auxquelles il est lié. Il apporte une solution au problème des 15 pensionnaires
Vision
euclidienne
du plan de Fano
C
A
B
E
Le plan de Fano
C
G
B
F
A
D
E