La géométrie discrète 115
de Thomas Kirkman (voir page 167). Dans la théorie de la conception d’expériences, le plan de Fano se présente comme un exemple protéiforme, que l’on
appelle un Système Triple de Steiner (STS). Étant donné un nombre n d’objets,
un STS est une façon de les diviser en groupes de trois, de sorte que chaque paire
prise dans les n objets se trouve dans un seul et unique groupe. Étant donnés
sept objets A, B, C, D, E, F et G, les groupes du STS correspondent aux droites
du plan de Fano.
Une autre dualité en géométrie projective Le
théorème de Pascal et le théorème de Brianchon se trouvent
à la frontière qui sépare la géométrie continue de la géométrie discrète. Ces deux géométries sont différentes,
mais néanmoins liées l’une à l’autre. Le théorème de
Pascal fut découvert par Blaise Pascal en 1639 alors
qu’il n’avait que 16 ans. Prenons une ellipse (voir
page 89) et considérons six points sur cette ellipse
que nous noterons A 1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 et C 2 . Nous appellerons P le point d’intersection des droites (A 1 B 2 ) et (A 2 B 1 ),
Q le point d’intersection des droites (A 1 C 2 ) et (A 2 C 1 ) et R le
point d’intersection des droites (B 1 C 2 ) et (B 2 C 1 ). Le théorème
de Pascal stipule que les points P, Q et R sont alignés.
Le théorème de Pascal est vrai quelle que soit la position des différents points disposés sur l’ellipse. On peut même remplacer l’ellipse
par une autre conique, telle qu’une hyperbole, un cercle, une parabole, ou même
deux droites parallèles (cette configuration s’appelle un « hexagramme mystique »)
et le théorème est toujours vrai.
Le théorème de Brianchon fut découvert bien plus tard par le mathématicien et chimiste français Charles-Julien Brianchon. Traçons
six tangentes à une ellipse, que nous appellerons a 1 , b 1 , c 1 , a 2 ,
b 2 et c 2 . On définit les droites p, q et r comme suit : p est la
droite passant par les points d’intersection de a 1 et b 2 et de
a 2 et b 1 ; q est la droite passant par les points d’intersection de a 1 et c 2 et de a 2 et c 1 ; r est la droite passant par les
points d’intersection de b 1 et c 2 et de b 2 et c 1 . Le théorème de
Brianchon stipule que les droites p, q et r sont concourantes.
Le théorème de Brianchon est le dual de celui de Pascal, et
ces deux résultats donnent ainsi un autre exemple du principe de
dualité en géométrie projective.
c 2
a 1
b 1
a 2
c 1
b 2
q
p
r
Le théorème
de Brianchon
Le théorème
de Pascal
A 1
A 2
B 2
C 2
P
Q
R
B 1
C 1
A
F
B
B
G
C
C
A
D
D
B
E
E
C
F
F
D
G
G
E
A
l’idée clé
Mise aux points individuels
de Thomas Kirkman (voir page 167). Dans la théorie de la conception d’expériences, le plan de Fano se présente comme un exemple protéiforme, que l’on
appelle un Système Triple de Steiner (STS). Étant donné un nombre n d’objets,
un STS est une façon de les diviser en groupes de trois, de sorte que chaque paire
prise dans les n objets se trouve dans un seul et unique groupe. Étant donnés
sept objets A, B, C, D, E, F et G, les groupes du STS correspondent aux droites
du plan de Fano.
Une autre dualité en géométrie projective Le
théorème de Pascal et le théorème de Brianchon se trouvent
à la frontière qui sépare la géométrie continue de la géométrie discrète. Ces deux géométries sont différentes,
mais néanmoins liées l’une à l’autre. Le théorème de
Pascal fut découvert par Blaise Pascal en 1639 alors
qu’il n’avait que 16 ans. Prenons une ellipse (voir
page 89) et considérons six points sur cette ellipse
que nous noterons A 1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 et C 2 . Nous appellerons P le point d’intersection des droites (A 1 B 2 ) et (A 2 B 1 ),
Q le point d’intersection des droites (A 1 C 2 ) et (A 2 C 1 ) et R le
point d’intersection des droites (B 1 C 2 ) et (B 2 C 1 ). Le théorème
de Pascal stipule que les points P, Q et R sont alignés.
Le théorème de Pascal est vrai quelle que soit la position des différents points disposés sur l’ellipse. On peut même remplacer l’ellipse
par une autre conique, telle qu’une hyperbole, un cercle, une parabole, ou même
deux droites parallèles (cette configuration s’appelle un « hexagramme mystique »)
et le théorème est toujours vrai.
Le théorème de Brianchon fut découvert bien plus tard par le mathématicien et chimiste français Charles-Julien Brianchon. Traçons
six tangentes à une ellipse, que nous appellerons a 1 , b 1 , c 1 , a 2 ,
b 2 et c 2 . On définit les droites p, q et r comme suit : p est la
droite passant par les points d’intersection de a 1 et b 2 et de
a 2 et b 1 ; q est la droite passant par les points d’intersection de a 1 et c 2 et de a 2 et c 1 ; r est la droite passant par les
points d’intersection de b 1 et c 2 et de b 2 et c 1 . Le théorème de
Brianchon stipule que les droites p, q et r sont concourantes.
Le théorème de Brianchon est le dual de celui de Pascal, et
ces deux résultats donnent ainsi un autre exemple du principe de
dualité en géométrie projective.
c 2
a 1
b 1
a 2
c 1
b 2
q
p
r
Le théorème
de Brianchon
Le théorème
de Pascal
A 1
A 2
B 2
C 2
P
Q
R
B 1
C 1
A
F
B
B
G
C
C
A
D
D
B
E
E
C
F
F
D
G
G
E
A
l’idée clé
Mise aux points individuels