Le postulat des parallèles 111
Une autre alternative au cinquième postulat stipule que chaque droite qui passe par
P coupe la droite ∆. Autrement dit, aucune droite qui passe par P n’est « parallèle » à
∆. Cette géométrie est différente de celle de Bolyai et de Lobachevsky, mais il s’agit
néanmoins d’une géométrie authentique. Un modèle en est la géométrie sur la surface d’une sphère. Ici, les grands cercles (ces cercles qui ont la même circonférence
que la sphère elle-même) jouent le rôle des droites dans la géométrie euclidienne.
Dans cette géométrie non euclidienne, la somme des angles dans un triangle est
supérieure à 180°. C’est ce que l’on appelle la géométrie elliptique que l’on associe au
mathématicien allemand Bernhard Riemann qui en fit l’étude dans les années 1850.
La géométrie euclidienne, que l’on croyait être la seule vraie géométrie, ou, selon
Emmanuel Kant, qui était « inhérente à l’esprit humain », était tombée de son piédestal. Elle était à présent une géométrie parmi d’autres, coincée entre la géométrie
hyperbolique et la géométrie elliptique. Ses différentes versions furent unifiées sous
une égide unique par Félix Klein en 1872. L’avènement de la géométrie non euclidienne stupéfia le monde des mathématiques et ouvrit la voie à la géométrie de la
relativité d’Einstein (voir page 192). C’est la théorie de la relativité générale qui exige
une nouvelle sorte de géométrie, la géométrie de l’espace-temps courbé, ou géométrie Riemannienne. L’explication de la chute des objets était maintenant donnée par
cette géométrie non euclidienne, et non plus par la théorie de la force d’attraction
gravitationnelle entre les objets définie par Newton. La présence d’objets massifs dans
l’espace, comme la Terre et le Soleil, est à l’origine de la courbure de l’espace-temps.
Une bille posée sur du caoutchouc peu épais provoque un petit renfoncement, mais
essayez avec une boule de bowling et vous aurez une vraie déformation.
Cette courbure mesurée par la géométrie Riemannienne prédit comment les rais
de lumière se courbent en présence d’objets massifs de l’espace. L’espace euclidien
ordinaire, avec le temps comme composant indépendant, ne suffit pas pour rendre
compte de la relativité générale. Une raison en est que l’espace euclidien est plat,
donc sans courbure. Imaginez une feuille de papier étalée sur une table. On peut
dire que la courbure est nulle en tout point de la feuille. Sous-jacent au concept de
courbure se trouve un concept de courbure qui varie continuellement, tout comme
la courbure d’un morceau de tissus froissé varie de point en point. De la même
manière lorsque vous regardez dans un miroir déformant à la fête foraine, l’image
que vous voyez dépend de l’endroit du miroir que vous regardez.
Il n’est pas étonnant que Gauss fut si impressionné par le jeune Riemann dans les
années 1850 et alla jusqu’à suggérer que la « métaphysique » de l’espace serait révolutionnée par ses idées perspicaces.
l’idée clé
Et si des droites parallèles
étaient sécantes ?
Une autre alternative au cinquième postulat stipule que chaque droite qui passe par
P coupe la droite ∆. Autrement dit, aucune droite qui passe par P n’est « parallèle » à
∆. Cette géométrie est différente de celle de Bolyai et de Lobachevsky, mais il s’agit
néanmoins d’une géométrie authentique. Un modèle en est la géométrie sur la surface d’une sphère. Ici, les grands cercles (ces cercles qui ont la même circonférence
que la sphère elle-même) jouent le rôle des droites dans la géométrie euclidienne.
Dans cette géométrie non euclidienne, la somme des angles dans un triangle est
supérieure à 180°. C’est ce que l’on appelle la géométrie elliptique que l’on associe au
mathématicien allemand Bernhard Riemann qui en fit l’étude dans les années 1850.
La géométrie euclidienne, que l’on croyait être la seule vraie géométrie, ou, selon
Emmanuel Kant, qui était « inhérente à l’esprit humain », était tombée de son piédestal. Elle était à présent une géométrie parmi d’autres, coincée entre la géométrie
hyperbolique et la géométrie elliptique. Ses différentes versions furent unifiées sous
une égide unique par Félix Klein en 1872. L’avènement de la géométrie non euclidienne stupéfia le monde des mathématiques et ouvrit la voie à la géométrie de la
relativité d’Einstein (voir page 192). C’est la théorie de la relativité générale qui exige
une nouvelle sorte de géométrie, la géométrie de l’espace-temps courbé, ou géométrie Riemannienne. L’explication de la chute des objets était maintenant donnée par
cette géométrie non euclidienne, et non plus par la théorie de la force d’attraction
gravitationnelle entre les objets définie par Newton. La présence d’objets massifs dans
l’espace, comme la Terre et le Soleil, est à l’origine de la courbure de l’espace-temps.
Une bille posée sur du caoutchouc peu épais provoque un petit renfoncement, mais
essayez avec une boule de bowling et vous aurez une vraie déformation.
Cette courbure mesurée par la géométrie Riemannienne prédit comment les rais
de lumière se courbent en présence d’objets massifs de l’espace. L’espace euclidien
ordinaire, avec le temps comme composant indépendant, ne suffit pas pour rendre
compte de la relativité générale. Une raison en est que l’espace euclidien est plat,
donc sans courbure. Imaginez une feuille de papier étalée sur une table. On peut
dire que la courbure est nulle en tout point de la feuille. Sous-jacent au concept de
courbure se trouve un concept de courbure qui varie continuellement, tout comme
la courbure d’un morceau de tissus froissé varie de point en point. De la même
manière lorsque vous regardez dans un miroir déformant à la fête foraine, l’image
que vous voyez dépend de l’endroit du miroir que vous regardez.
Il n’est pas étonnant que Gauss fut si impressionné par le jeune Riemann dans les
années 1850 et alla jusqu’à suggérer que la « métaphysique » de l’espace serait révolutionnée par ses idées perspicaces.
l’idée clé
Et si des droites parallèles
étaient sécantes ?