50 clés pour comprendre les maths
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passant par P et parallèle à ∆. À peu près à la même époque, Adrien Marie Legendre lui
substitua une autre version lorsqu’il affirma l’existence d’un triangle dont les angles
ont pour somme 180°. Ces reformulations du cinquième postulat aidèrent à réfuter
l’objection selon laquelle ce postulat était artificiel. Elles étaient plus acceptables que
la version indigeste d’Euclide.
On a aussi cherché à trouver la preuve insaisissable du cinquième postulat. Cette
recherche séduisait fortement ses adeptes. Si l’on avait pu trouver une preuve, le
postulat serait devenu un théorème et c’en aurait été fait des critiques.
Malheureusement, les tentatives furent toutes d’excellents exemples de raisonnement circulaire, raisonnement dont les arguments supposent la chose même qu’ils
essaient de prouver.
La géométrie non euclidienne Une découverte capitale fut réalisée grâce
au travail de Carl Friedrich Gauss, János Bolyai et Nikolai Ivanovich Lobachevsky.
Gauss ne publia pas son travail, mais il semble évident qu’il parvint à ses conclusions en 1817. Bolyai publia le sien en 1831 et Lobachevsky, de son côté, en 1829,
ce qui les entraîna dans une querelle de priorité. On ne peut douter du génie de ces
hommes. Ils ont effectivement montré que le cinquième postulat était indépendant des quatre autres. En ajoutant sa négation aux quatre autres postulats, ils ont
montré qu’un système cohérent était possible.
Bolyai et Lobachevsky construisirent une
nouvelle géométrie en autorisant qu’il y ait
plus d’une droite qui passe par P sans jamais
rencontrer la droite ∆. Comment est-ce possible ? Il est certain que les droites en pointillés rencontrent ∆. Si l’on accepte cela,
on adhère inconsciemment aux idées
d’Euclide. Le diagramme est donc
une escroquerie, car ce que Bolyai
et Lobachevsky proposaient, c’était
une nouvelle sorte de géométrie qui
n’est pas en conformité avec la géométrie de bon sens d’Euclide. En fait, on peut
considérer leur géométrie non euclidienne
comme la géométrie sur la surface courbe de
ce que l’on appelle une pseudo-sphère.
Les chemins les plus courts entre les points
d’une pseudo-sphère jouent le même rôle que
les droites dans la géométrie euclidienne. L’une
des curiosités de cette géométrie non euclidienne, c’est que la somme des angles d’un
triangle est inférieure à 180°. Cette géométrie
s’appelle la géométrie hyperbolique.
P
∆
110
passant par P et parallèle à ∆. À peu près à la même époque, Adrien Marie Legendre lui
substitua une autre version lorsqu’il affirma l’existence d’un triangle dont les angles
ont pour somme 180°. Ces reformulations du cinquième postulat aidèrent à réfuter
l’objection selon laquelle ce postulat était artificiel. Elles étaient plus acceptables que
la version indigeste d’Euclide.
On a aussi cherché à trouver la preuve insaisissable du cinquième postulat. Cette
recherche séduisait fortement ses adeptes. Si l’on avait pu trouver une preuve, le
postulat serait devenu un théorème et c’en aurait été fait des critiques.
Malheureusement, les tentatives furent toutes d’excellents exemples de raisonnement circulaire, raisonnement dont les arguments supposent la chose même qu’ils
essaient de prouver.
La géométrie non euclidienne Une découverte capitale fut réalisée grâce
au travail de Carl Friedrich Gauss, János Bolyai et Nikolai Ivanovich Lobachevsky.
Gauss ne publia pas son travail, mais il semble évident qu’il parvint à ses conclusions en 1817. Bolyai publia le sien en 1831 et Lobachevsky, de son côté, en 1829,
ce qui les entraîna dans une querelle de priorité. On ne peut douter du génie de ces
hommes. Ils ont effectivement montré que le cinquième postulat était indépendant des quatre autres. En ajoutant sa négation aux quatre autres postulats, ils ont
montré qu’un système cohérent était possible.
Bolyai et Lobachevsky construisirent une
nouvelle géométrie en autorisant qu’il y ait
plus d’une droite qui passe par P sans jamais
rencontrer la droite ∆. Comment est-ce possible ? Il est certain que les droites en pointillés rencontrent ∆. Si l’on accepte cela,
on adhère inconsciemment aux idées
d’Euclide. Le diagramme est donc
une escroquerie, car ce que Bolyai
et Lobachevsky proposaient, c’était
une nouvelle sorte de géométrie qui
n’est pas en conformité avec la géométrie de bon sens d’Euclide. En fait, on peut
considérer leur géométrie non euclidienne
comme la géométrie sur la surface courbe de
ce que l’on appelle une pseudo-sphère.
Les chemins les plus courts entre les points
d’une pseudo-sphère jouent le même rôle que
les droites dans la géométrie euclidienne. L’une
des curiosités de cette géométrie non euclidienne, c’est que la somme des angles d’un
triangle est inférieure à 180°. Cette géométrie
s’appelle la géométrie hyperbolique.
P
∆