Le postulat des parallèles 109
1854
Riemann donne des conférences
sur les fondations de la géométrie.
1872
Klein unifie la géométrie
via la théorie des groupes.
1915
Einstein fait reposer sa théorie
de la relativité sur la géométrie
Riemannienne.
Le style des Éléments d’Euclide en fait
un ouvrage absolument remarquable :
il accomplit la prouesse de présenter la
géométrie comme une suite de propositions démontrées. Sherlock Holmes
aurait admiré ce système de déduction
qui progresse logiquement à partir de
postulats clairement formulés. Il aurait
pu fustiger le Dr Watson pour son incapacité à y voir un « système froid et
dépourvu de passion ».
Alors que tout l’édifice de la géométrie
d’Euclide repose sur les postulats (que
l’on appelle aujourd’hui des axiomes –
voir encadré), ils n’étaient pas suffisants,
et Euclide leur ajouta des « définitions »
et des « notions communes ». Les définitions incluent des affirmations telles
que : « Le point est ce dont la partie est
nulle » et « Une ligne est une longueur
sans épaisseur ». Les notions communes
incluent des observations telles que « Le
tout est plus grand que la partie » et « Des
choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles ». Ce n’est que vers
la fin du xix
e siècle que l’on reconnut qu’Euclide s’était livré à des suppositions tacites.
Le cinquième postulat Le cinquième postulat fut à l’origine d’une controverse plus de
2 000 ans après la première apparition des Éléments.
De par son style d’abord, verbeux et lourd, il ne
semble pas être à sa place. Euclide lui-même n’en
était pas satisfait mais il ne pouvait en faire l’économie pour prouver certaines propositions. Il essaya
en vain de le prouver à partir des autres postulats.
Plus tard, des mathématiciens ont essayé de le
prouver ou encore de le remplacer par un postulat
plus simple. En 1795, c’est la reformulation de John
Playfair qui s’imposa : par un point P n’appartenant
pas à une droite ∆, il n’existe qu’une seule droite
Le cinquième postulat
d’Euclide
Les postulats
d’Euclide
L’une des caractéristiques des mathématiques est
que quelques suppositions peuvent générer de vastes
théories. Les postulats d’Euclide en sont un excellent
exemple car ils permirent de construire le modèle
des systèmes axiomatiques futurs. Ses cinq postulats
s’énoncent ainsi :
1. On peut tracer une droite et une seule qui passe par
deux points quelconques.
2. Tout segment peut être prolongé en une droite.
3. On peut construire un cercle de centre quelconque
et de rayon quelconque.
4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.
5. Si une droite coupe deux droites et que la somme des
angles intérieurs ainsi formés d’un côté est inférieure à
deux angles droits, alors ces deux droites prolongées
à l’infini sont sécantes en un point situé de ce côté où
les angles sont inférieurs à deux angles droits.
1854
Riemann donne des conférences
sur les fondations de la géométrie.
1872
Klein unifie la géométrie
via la théorie des groupes.
1915
Einstein fait reposer sa théorie
de la relativité sur la géométrie
Riemannienne.
Le style des Éléments d’Euclide en fait
un ouvrage absolument remarquable :
il accomplit la prouesse de présenter la
géométrie comme une suite de propositions démontrées. Sherlock Holmes
aurait admiré ce système de déduction
qui progresse logiquement à partir de
postulats clairement formulés. Il aurait
pu fustiger le Dr Watson pour son incapacité à y voir un « système froid et
dépourvu de passion ».
Alors que tout l’édifice de la géométrie
d’Euclide repose sur les postulats (que
l’on appelle aujourd’hui des axiomes –
voir encadré), ils n’étaient pas suffisants,
et Euclide leur ajouta des « définitions »
et des « notions communes ». Les définitions incluent des affirmations telles
que : « Le point est ce dont la partie est
nulle » et « Une ligne est une longueur
sans épaisseur ». Les notions communes
incluent des observations telles que « Le
tout est plus grand que la partie » et « Des
choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles ». Ce n’est que vers
la fin du xix
e siècle que l’on reconnut qu’Euclide s’était livré à des suppositions tacites.
Le cinquième postulat Le cinquième postulat fut à l’origine d’une controverse plus de
2 000 ans après la première apparition des Éléments.
De par son style d’abord, verbeux et lourd, il ne
semble pas être à sa place. Euclide lui-même n’en
était pas satisfait mais il ne pouvait en faire l’économie pour prouver certaines propositions. Il essaya
en vain de le prouver à partir des autres postulats.
Plus tard, des mathématiciens ont essayé de le
prouver ou encore de le remplacer par un postulat
plus simple. En 1795, c’est la reformulation de John
Playfair qui s’imposa : par un point P n’appartenant
pas à une droite ∆, il n’existe qu’une seule droite
Le cinquième postulat
d’Euclide
Les postulats
d’Euclide
L’une des caractéristiques des mathématiques est
que quelques suppositions peuvent générer de vastes
théories. Les postulats d’Euclide en sont un excellent
exemple car ils permirent de construire le modèle
des systèmes axiomatiques futurs. Ses cinq postulats
s’énoncent ainsi :
1. On peut tracer une droite et une seule qui passe par
deux points quelconques.
2. Tout segment peut être prolongé en une droite.
3. On peut construire un cercle de centre quelconque
et de rayon quelconque.
4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.
5. Si une droite coupe deux droites et que la somme des
angles intérieurs ainsi formés d’un côté est inférieure à
deux angles droits, alors ces deux droites prolongées
à l’infini sont sécantes en un point situé de ce côté où
les angles sont inférieurs à deux angles droits.