Le chaos 107
La théorie mathématique qui gouverne les
prévisions météorologiques fut élaborée
par l’ingénieur français Claude Navier en
1821 ainsi que par le physicien mathématicien britannique George Gabriel Stokes
en 1845. Les équations Navier-Stokes
qui en résultèrent sont d’un très grand
intérêt pour les scientifiques. L’Institut
Mathématique Clay à Cambridge, dans
le Massachusetts, a offert un prix d’un
million de dollars à celui qui permettra
des progrès considérables dans l’élaboration d’une théorie mathématique capable
d’en révéler tous les secrets. Utilisées pour
résoudre le problème de l’écoulement des
fluides, elles nous apprennent beaucoup
sur les mouvements réguliers de la haute
atmosphère. Mais l’écoulement de l’air
près de la surface de la Terre crée des turbulences responsables du chaos, avec les
conséquences largement méconnues qu’il
entraîne.
Alors que la théorie des systèmes
linéaires d’équations est bien connue, les
équations de Navier-Stokes contiennent
des termes non linéaires qui les rendent difficiles à manipuler. Dans la pratique, la
seule façon de les résoudre est de procéder numériquement en utilisant de puissants
ordinateurs.
Des attracteurs étranges On peut considérer les systèmes dynamiques
comme des systèmes qui possèdent des « attracteurs » dans leur diagramme de
phase. Dans le cas du pendule simple, l’attracteur est le point d’origine, point
unique vers lequel converge le mouvement. Avec le pendule double, c’est plus compliqué, mais même ici, le portrait de phase montre quelques régularités et sera attiré
par un ensemble de points du diagramme de phase. Pour des systèmes comme celuici, l’ensemble de ces points forment un ensemble fractal (voir page 100), appelé un
attracteur « étrange », dont la structure mathématique est définie. Alors, tout n’est
pas perdu. Dans la nouvelle théorie du chaos, ce n’est pas tant un chaos chaotique
qui en résulte qu’un chaos « ordonné ».
l’idée clé
Une régularité désordonnée
De la météorologie
aux mathématiques
L’effet papillon fut découvert par hasard aux alentours de
1961. Lorsque le météorologiste Edward Lorenz, scientifique au MIT, partit prendre un café et laissa tourner
son ordinateur, il fut très surpris par ce qu’il trouva à
son retour. Il cherchait à saisir quelques modèles climatiques intéressants mais le nouveau graphique affiché
sur son écran était méconnaissable. C’était étrange car
il avait saisi dans l’ordinateur les mêmes valeurs initiales
qui auraient donc dû produire la même image. Était-il
temps de se débarrasser de ce vieil ordinateur pour un
autre, plus fiable ?
Après réflexion, il se rendit compte qu’il n’avait pas
saisi les valeurs initiales de la même façon : la première
fois, il s’était servi de six décimales mais ensuite, il n’en
avait pris que trois. Pour expliquer cet écart entre les
deux images obtenues, il inventa l’expression « effet
papillon ». Après cette découverte, sa curiosité se tourna
vers les mathématiques.
La théorie mathématique qui gouverne les
prévisions météorologiques fut élaborée
par l’ingénieur français Claude Navier en
1821 ainsi que par le physicien mathématicien britannique George Gabriel Stokes
en 1845. Les équations Navier-Stokes
qui en résultèrent sont d’un très grand
intérêt pour les scientifiques. L’Institut
Mathématique Clay à Cambridge, dans
le Massachusetts, a offert un prix d’un
million de dollars à celui qui permettra
des progrès considérables dans l’élaboration d’une théorie mathématique capable
d’en révéler tous les secrets. Utilisées pour
résoudre le problème de l’écoulement des
fluides, elles nous apprennent beaucoup
sur les mouvements réguliers de la haute
atmosphère. Mais l’écoulement de l’air
près de la surface de la Terre crée des turbulences responsables du chaos, avec les
conséquences largement méconnues qu’il
entraîne.
Alors que la théorie des systèmes
linéaires d’équations est bien connue, les
équations de Navier-Stokes contiennent
des termes non linéaires qui les rendent difficiles à manipuler. Dans la pratique, la
seule façon de les résoudre est de procéder numériquement en utilisant de puissants
ordinateurs.
Des attracteurs étranges On peut considérer les systèmes dynamiques
comme des systèmes qui possèdent des « attracteurs » dans leur diagramme de
phase. Dans le cas du pendule simple, l’attracteur est le point d’origine, point
unique vers lequel converge le mouvement. Avec le pendule double, c’est plus compliqué, mais même ici, le portrait de phase montre quelques régularités et sera attiré
par un ensemble de points du diagramme de phase. Pour des systèmes comme celuici, l’ensemble de ces points forment un ensemble fractal (voir page 100), appelé un
attracteur « étrange », dont la structure mathématique est définie. Alors, tout n’est
pas perdu. Dans la nouvelle théorie du chaos, ce n’est pas tant un chaos chaotique
qui en résulte qu’un chaos « ordonné ».
l’idée clé
Une régularité désordonnée
De la météorologie
aux mathématiques
L’effet papillon fut découvert par hasard aux alentours de
1961. Lorsque le météorologiste Edward Lorenz, scientifique au MIT, partit prendre un café et laissa tourner
son ordinateur, il fut très surpris par ce qu’il trouva à
son retour. Il cherchait à saisir quelques modèles climatiques intéressants mais le nouveau graphique affiché
sur son écran était méconnaissable. C’était étrange car
il avait saisi dans l’ordinateur les mêmes valeurs initiales
qui auraient donc dû produire la même image. Était-il
temps de se débarrasser de ce vieil ordinateur pour un
autre, plus fiable ?
Après réflexion, il se rendit compte qu’il n’avait pas
saisi les valeurs initiales de la même façon : la première
fois, il s’était servi de six décimales mais ensuite, il n’en
avait pris que trois. Pour expliquer cet écart entre les
deux images obtenues, il inventa l’expression « effet
papillon ». Après cette découverte, sa curiosité se tourna
vers les mathématiques.