50 clés pour comprendre les maths
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Le mouvement chaotique La caractéristique du chaos est
qu’un système déterministe peut sembler générer un comportement aléatoire. Examinons un autre exemple, la formule
répétitive ou itérative a × p × (1 – p) où p représente la
population, mesurée comme une probabilité sur une
échelle allant de 0 à 1. La valeur de a doit être située
quelque part entre 0 et 4 pour s’assurer que la valeur de p
reste comprise entre 0 et 1.
Modélisons la population lorsque a = 2. Prenons par exemple
p = 0,3 au temps t = 0. Pour trouver la population au temps t = 1, on
remplace alors p par la valeur 0,3 dans la formule a × p × (1 – p), ce qui
donne 0,42. On peut répéter cette opération à l’aide d’une simple calculatrice uniquement, mais cette fois avec p = 0,42, ce qui nous donne
le nombre suivant (0,4872). En progressant de cette manière, on
trouve la population à des périodes plus avancées. Dans ce cas, la
population se stabilise rapidement à p = 0,5. C’est toujours le cas
pour des valeurs de a inférieures à 3.
Si l’on choisit maintenant a = 3,9, valeur la plus proche possible
du maximum autorisé, et si l’on utilise une population initiale
identique p = 0,3, la population ne se stabilise pas mais oscille
fortement. Cela est dû au fait que la valeur de a se trouve dans
la « région chaotique », à savoir au-dessus de 3,57. De plus, si
l’on choisit une population initiale différente p = 0,29, valeur
proche de 0,3, la croissance de la population suit le schéma
de la croissance précédente au début, mais s’en écarte ensuite
complètement. C’est ce comportement qu’Edward Lorenz
étudia en 1961 (voir encadré).
Les prévisions météorologiques Chacun sait que
des ordinateurs, aussi puissants soient-ils, ne permettent
pas de prévoir la météo plus
de quelques jours à l’avance.
Et même sur une période de
quelques jours seulement,
nous pouvons avoir de mauvaises surprises. Cela est dû au
fait que les équations qui gouvernent le temps ne sont pas
linéaires : elles mettent en jeu
des variables multipliées entre
elles, et d’autres choses encore.
Diagramme
de phase du pendule
simple
B
Vitesse
Déplacement
E A
C
D
Jonction
Mouvement
du pendule
double
Évolution
de la population
pour a = 3,9
P
0,5
0,30
0,29
1,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
temps
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Le mouvement chaotique La caractéristique du chaos est
qu’un système déterministe peut sembler générer un comportement aléatoire. Examinons un autre exemple, la formule
répétitive ou itérative a × p × (1 – p) où p représente la
population, mesurée comme une probabilité sur une
échelle allant de 0 à 1. La valeur de a doit être située
quelque part entre 0 et 4 pour s’assurer que la valeur de p
reste comprise entre 0 et 1.
Modélisons la population lorsque a = 2. Prenons par exemple
p = 0,3 au temps t = 0. Pour trouver la population au temps t = 1, on
remplace alors p par la valeur 0,3 dans la formule a × p × (1 – p), ce qui
donne 0,42. On peut répéter cette opération à l’aide d’une simple calculatrice uniquement, mais cette fois avec p = 0,42, ce qui nous donne
le nombre suivant (0,4872). En progressant de cette manière, on
trouve la population à des périodes plus avancées. Dans ce cas, la
population se stabilise rapidement à p = 0,5. C’est toujours le cas
pour des valeurs de a inférieures à 3.
Si l’on choisit maintenant a = 3,9, valeur la plus proche possible
du maximum autorisé, et si l’on utilise une population initiale
identique p = 0,3, la population ne se stabilise pas mais oscille
fortement. Cela est dû au fait que la valeur de a se trouve dans
la « région chaotique », à savoir au-dessus de 3,57. De plus, si
l’on choisit une population initiale différente p = 0,29, valeur
proche de 0,3, la croissance de la population suit le schéma
de la croissance précédente au début, mais s’en écarte ensuite
complètement. C’est ce comportement qu’Edward Lorenz
étudia en 1961 (voir encadré).
Les prévisions météorologiques Chacun sait que
des ordinateurs, aussi puissants soient-ils, ne permettent
pas de prévoir la météo plus
de quelques jours à l’avance.
Et même sur une période de
quelques jours seulement,
nous pouvons avoir de mauvaises surprises. Cela est dû au
fait que les équations qui gouvernent le temps ne sont pas
linéaires : elles mettent en jeu
des variables multipliées entre
elles, et d’autres choses encore.
Diagramme
de phase du pendule
simple
B
Vitesse
Déplacement
E A
C
D
Jonction
Mouvement
du pendule
double
Évolution
de la population
pour a = 3,9
P
0,5
0,30
0,29
1,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
temps