Le chaos 105
1961
Lorenz observe l’effet papillon.
1971
Robert May étudie
le chaos sur un modèle
de population.
2004
La théorie du chaos passe dans
la culture populaire avec le film
L’effet papillon.
tombait dans la troisième colonne à partir de la droite, alors il en
irait de même pour la deuxième.
Mais bien sûr, il est impossible de faire tomber la bille à partir de
la même position, avec la même vitesse et la même force. En réalité, il y a toujours une toute petite différence que l’on n’est peutêtre même pas capable de mesurer. Au final, il est possible que la
bille suive une trajectoire très différente et termine sa course dans
une colonne différente.
Un pendule simple Le pendule libre est l’un des systèmes
mécaniques d’analyse les plus simples qui soient. À mesure que le
pendule se balance d’avant en arrière, il perd peu à peu de l’énergie.
La masse s’écarte de moins en moins de la verticale et perd de sa
vitesse (angulaire), avant de s’immobiliser complètement.
Le mouvement de la masse peut être représenté sous la forme d’un diagramme de
phase. On mesure le déplacement (angulaire) sur l’axe des abscisses, et la vitesse
sur l’axe des ordonnées. Le point d’où la masse est lâchée est représenté par le
point A placé sur l’axe des abscisses. Au point A, le déplacement est à son
maximum et la vitesse est nulle. Lorsque la masse passe par l’axe des
ordonnées (à l’endroit où le déplacement est nul), la vitesse est à
son maximum, ce qui est représenté sur le diagramme de phase
par le point B. La masse atteint l’autre extrémité de sa trajectoire
au point C où le déplacement est négatif et la vitesse nulle. Le
poids revient alors en passant par D (il se déplace dans la direction
inverse et sa vitesse est donc négative) et achève un mouvement
de va-et-vient complet en E. Le diagramme de phase représente ce
mouvement par une rotation de 360°, mais le point E est représenté à l’intérieur du point origine A parce que le mouvement
s’est affaibli. Comme le balancement du pendule diminue, le
portrait de phase revient à l’origine du repère en effectuant
une spirale jusqu’à l’immobilisation complète du pendule.
Ce n’est pas la même chose avec le pendule double dont la masse est à l’extrémité
de deux tiges mises bout à bout. Si le déplacement est faible, le mouvement du
pendule double est semblable à celui du pendule simple, mais si le déplacement
est ample, la masse exécute un mouvement de va-et-vient, pivote, puis fait des
embardées, et le déplacement autour de l’articulation intermédiaire est alors apparemment aléatoire. Si le mouvement n’est pas contraint, la masse s’arrête aussi mais
la courbe qui décrit son mouvement est très différente de la spirale bien nette du
pendule simple.
La planche de Galton
Un pendule simple
C
D
B
E
A
1961
Lorenz observe l’effet papillon.
1971
Robert May étudie
le chaos sur un modèle
de population.
2004
La théorie du chaos passe dans
la culture populaire avec le film
L’effet papillon.
tombait dans la troisième colonne à partir de la droite, alors il en
irait de même pour la deuxième.
Mais bien sûr, il est impossible de faire tomber la bille à partir de
la même position, avec la même vitesse et la même force. En réalité, il y a toujours une toute petite différence que l’on n’est peutêtre même pas capable de mesurer. Au final, il est possible que la
bille suive une trajectoire très différente et termine sa course dans
une colonne différente.
Un pendule simple Le pendule libre est l’un des systèmes
mécaniques d’analyse les plus simples qui soient. À mesure que le
pendule se balance d’avant en arrière, il perd peu à peu de l’énergie.
La masse s’écarte de moins en moins de la verticale et perd de sa
vitesse (angulaire), avant de s’immobiliser complètement.
Le mouvement de la masse peut être représenté sous la forme d’un diagramme de
phase. On mesure le déplacement (angulaire) sur l’axe des abscisses, et la vitesse
sur l’axe des ordonnées. Le point d’où la masse est lâchée est représenté par le
point A placé sur l’axe des abscisses. Au point A, le déplacement est à son
maximum et la vitesse est nulle. Lorsque la masse passe par l’axe des
ordonnées (à l’endroit où le déplacement est nul), la vitesse est à
son maximum, ce qui est représenté sur le diagramme de phase
par le point B. La masse atteint l’autre extrémité de sa trajectoire
au point C où le déplacement est négatif et la vitesse nulle. Le
poids revient alors en passant par D (il se déplace dans la direction
inverse et sa vitesse est donc négative) et achève un mouvement
de va-et-vient complet en E. Le diagramme de phase représente ce
mouvement par une rotation de 360°, mais le point E est représenté à l’intérieur du point origine A parce que le mouvement
s’est affaibli. Comme le balancement du pendule diminue, le
portrait de phase revient à l’origine du repère en effectuant
une spirale jusqu’à l’immobilisation complète du pendule.
Ce n’est pas la même chose avec le pendule double dont la masse est à l’extrémité
de deux tiges mises bout à bout. Si le déplacement est faible, le mouvement du
pendule double est semblable à celui du pendule simple, mais si le déplacement
est ample, la masse exécute un mouvement de va-et-vient, pivote, puis fait des
embardées, et le déplacement autour de l’articulation intermédiaire est alors apparemment aléatoire. Si le mouvement n’est pas contraint, la masse s’arrête aussi mais
la courbe qui décrit son mouvement est très différente de la spirale bien nette du
pendule simple.
La planche de Galton
Un pendule simple
C
D
B
E
A