Les fractales 103
La dimension fractale Felix Hausdorff considéra la dimension d’une
manière toute nouvelle. Il fit intervenir la notion d’échelle. Si une droite est augmentée proportionnellement par un facteur 3, elle est trois fois plus grande qu’au
départ. Puisque 3 = 3
1 , on dit qu’une droite est de dimension 1. Si un carré est
augmenté proportionnellement par un facteur 3, son aire est égale à 9 fois son aire
initiale, soit 3
2
, et la dimension est donc de dimension 2. Si un cube est augmenté
proportionnellement par ce facteur, son volume est égal à 27 ou 3
3 et il est donc de
dimension 3. Ces valeurs de la dimension de Hausdorff coïncident avec ce que nous
attendons pour une droite, un carré, ou un cube.
Si l’unité de base de la courbe de von Koch est augmentée proportionnellement par
3, elle devient 4 fois plus grande que précédemment. En suivant le procédé décrit,
la dimension de Hausdorff est égale à la valeur de D pour laquelle 4 = 3
D . On peut
aussi avoir cet autre calcul :
D = ln 4
ln 3
ce qui signifie que la dimension D, pour la courbe de von Koch, est à peu près
égale à 1,262. Avec les courbes fractales, il arrive fréquemment que la dimension de
Hausdorff soit plus grande que la dimension ordinaire, qui est égale à 1 dans le cas
de la courbe de von Koch.
La dimension de Hausdorff entre dans la définition que Mandelbrot donne d’un
ensemble fractal qu’il présente comme un ensemble de points dont la valeur de
D n’est pas un nombre entier. La dimension fractale devint la propriété clé des
ensembles fractals.
Les applications des ensembles fractals Les ensembles fractals ont un
vaste champ d’applications potentielles. Ils pourraient très bien être le principe
mathématique qui entre dans la modélisation de phénomènes naturels tels que la
croissance des plantes ou la formation des nuages.
Les ensembles fractals trouvent déjà des applications dans la croissance d’organismes marins comme les coraux et les éponges. On a démontré que l’extension des
villes modernes présente des similitudes avec la croissance fractale. En médecine,
ils sont utilisés dans la modélisation de l’activité cérébrale. La nature fractale des
mouvements financiers en bourse ou sur les marchés de change a aussi été explorée.
Les travaux de Mandelbrot inaugurèrent un nouveau point de vue, et il reste encore
beaucoup à découvrir.
l’idée clé
Les formes de dimension
fractale
La dimension fractale Felix Hausdorff considéra la dimension d’une
manière toute nouvelle. Il fit intervenir la notion d’échelle. Si une droite est augmentée proportionnellement par un facteur 3, elle est trois fois plus grande qu’au
départ. Puisque 3 = 3
1 , on dit qu’une droite est de dimension 1. Si un carré est
augmenté proportionnellement par un facteur 3, son aire est égale à 9 fois son aire
initiale, soit 3
2
, et la dimension est donc de dimension 2. Si un cube est augmenté
proportionnellement par ce facteur, son volume est égal à 27 ou 3
3 et il est donc de
dimension 3. Ces valeurs de la dimension de Hausdorff coïncident avec ce que nous
attendons pour une droite, un carré, ou un cube.
Si l’unité de base de la courbe de von Koch est augmentée proportionnellement par
3, elle devient 4 fois plus grande que précédemment. En suivant le procédé décrit,
la dimension de Hausdorff est égale à la valeur de D pour laquelle 4 = 3
D . On peut
aussi avoir cet autre calcul :
D = ln 4
ln 3
ce qui signifie que la dimension D, pour la courbe de von Koch, est à peu près
égale à 1,262. Avec les courbes fractales, il arrive fréquemment que la dimension de
Hausdorff soit plus grande que la dimension ordinaire, qui est égale à 1 dans le cas
de la courbe de von Koch.
La dimension de Hausdorff entre dans la définition que Mandelbrot donne d’un
ensemble fractal qu’il présente comme un ensemble de points dont la valeur de
D n’est pas un nombre entier. La dimension fractale devint la propriété clé des
ensembles fractals.
Les applications des ensembles fractals Les ensembles fractals ont un
vaste champ d’applications potentielles. Ils pourraient très bien être le principe
mathématique qui entre dans la modélisation de phénomènes naturels tels que la
croissance des plantes ou la formation des nuages.
Les ensembles fractals trouvent déjà des applications dans la croissance d’organismes marins comme les coraux et les éponges. On a démontré que l’extension des
villes modernes présente des similitudes avec la croissance fractale. En médecine,
ils sont utilisés dans la modélisation de l’activité cérébrale. La nature fractale des
mouvements financiers en bourse ou sur les marchés de change a aussi été explorée.
Les travaux de Mandelbrot inaugurèrent un nouveau point de vue, et il reste encore
beaucoup à découvrir.
l’idée clé
Les formes de dimension
fractale