Les fractales 101
1918
Hausdorff introduit le concept
de dimension fractale.
1919
Julia et Fatou étudient
les structures fractales
dans le plan complexe.
1975
Mandelbrot introduit le terme
« fractal ».
Pour commencer, il faut choisir une valeur de c. Prenons c = 0,5. Si l’on commence
avec x = 0, le premier calcul donne encore 0,5. On prend maintenant x = 0,5 et le deuxième calcul s’écrit donc : (0,5)
2 + 0,5 = 0,75. On continue, et le troisième calcul donne
(0,75)
2 + 0,5 = 1,0625. Tous ces calculs peuvent s’effectuer sur une simple calculatrice.
Si l’on poursuit ainsi, on observe que le résultat obtenu est en constante augmentation.
Essayons avec une autre valeur de c. Cette fois, c = – 0,5. Comme précédemment,
on commence avec x = 0. La formule x
2 – 0,5 a pour résultat – 0,5. Si l’on poursuit,
on obtient – 0,25, mais cette fois, les valeurs n’augmentent plus. Après quelques
oscillations, elles se stabilisent vers une valeur proche de – 0,3660…
En prenant c = 0,5, la suite qui commence à x = 0 monte en chandelle avant de tendre
vers l’infini, mais avec c = – 0,5, on observe que la suite qui commence à x = 0 tend vers
une valeur proche de – 0,3660. L’ensemble de Mandelbrot est constitué de toutes ces
valeurs de c pour lesquelles la suite commençant à x = 0 ne tend pas vers l’infini.
L’histoire ne s’arrête pas là. Nous ne nous sommes occupé jusqu’à présent que des
nombres réels (nombres de dimension 1). Le résultat obtenu est un ensemble de
Mandelbrot de dimension 1 qui ne montre pas grand-chose. Il faut prendre la même
formule z
2 + c mais cette fois z et c sont deux nombres complexes (nombres de
dimension 2 – voir page 32). On obtient alors un ensemble de Mandelbrot
de dimension 2.
Pour certaines valeurs de c prises dans
l’ensemble de Mandelbrot, la suite de z
peut accomplir toutes sortes de choses
bizarres comme évoluer entre plusieurs
points mais ne pas s’échapper vers
l’infini. Dans cet ensemble, une autre
propriété clé des ensembles fractals
apparaît : celle de similitude. Si vous
zoomez sur l’intérieur de l’ensemble,
vous ne serez pas sûr de l’échelle parce
que vous ne verrez rien de plus que
d’autres ensembles de Mandelbrot.
Avant Mandelbrot Comme souvent en mathématiques, les découvertes
sont rarement toutes neuves. L’histoire
apprit à Mandelbrot que l’idée avait déjà
effleuré l’esprit de mathématiciens tels
qu’Henri Poincaré et Arthur Cayley cent
ans auparavant. Malheureusement, ils
L’ensemble de Mandelbrot
1918
Hausdorff introduit le concept
de dimension fractale.
1919
Julia et Fatou étudient
les structures fractales
dans le plan complexe.
1975
Mandelbrot introduit le terme
« fractal ».
Pour commencer, il faut choisir une valeur de c. Prenons c = 0,5. Si l’on commence
avec x = 0, le premier calcul donne encore 0,5. On prend maintenant x = 0,5 et le deuxième calcul s’écrit donc : (0,5)
2 + 0,5 = 0,75. On continue, et le troisième calcul donne
(0,75)
2 + 0,5 = 1,0625. Tous ces calculs peuvent s’effectuer sur une simple calculatrice.
Si l’on poursuit ainsi, on observe que le résultat obtenu est en constante augmentation.
Essayons avec une autre valeur de c. Cette fois, c = – 0,5. Comme précédemment,
on commence avec x = 0. La formule x
2 – 0,5 a pour résultat – 0,5. Si l’on poursuit,
on obtient – 0,25, mais cette fois, les valeurs n’augmentent plus. Après quelques
oscillations, elles se stabilisent vers une valeur proche de – 0,3660…
En prenant c = 0,5, la suite qui commence à x = 0 monte en chandelle avant de tendre
vers l’infini, mais avec c = – 0,5, on observe que la suite qui commence à x = 0 tend vers
une valeur proche de – 0,3660. L’ensemble de Mandelbrot est constitué de toutes ces
valeurs de c pour lesquelles la suite commençant à x = 0 ne tend pas vers l’infini.
L’histoire ne s’arrête pas là. Nous ne nous sommes occupé jusqu’à présent que des
nombres réels (nombres de dimension 1). Le résultat obtenu est un ensemble de
Mandelbrot de dimension 1 qui ne montre pas grand-chose. Il faut prendre la même
formule z
2 + c mais cette fois z et c sont deux nombres complexes (nombres de
dimension 2 – voir page 32). On obtient alors un ensemble de Mandelbrot
de dimension 2.
Pour certaines valeurs de c prises dans
l’ensemble de Mandelbrot, la suite de z
peut accomplir toutes sortes de choses
bizarres comme évoluer entre plusieurs
points mais ne pas s’échapper vers
l’infini. Dans cet ensemble, une autre
propriété clé des ensembles fractals
apparaît : celle de similitude. Si vous
zoomez sur l’intérieur de l’ensemble,
vous ne serez pas sûr de l’échelle parce
que vous ne verrez rien de plus que
d’autres ensembles de Mandelbrot.
Avant Mandelbrot Comme souvent en mathématiques, les découvertes
sont rarement toutes neuves. L’histoire
apprit à Mandelbrot que l’idée avait déjà
effleuré l’esprit de mathématiciens tels
qu’Henri Poincaré et Arthur Cayley cent
ans auparavant. Malheureusement, ils
L’ensemble de Mandelbrot