2.5.3 Magneto-Electro-Elastic Composites . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.4 Aero-Electro-Elastic Coupled Modeling . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Modeling of Piezo-Fiber Composite Bonded Structures . . . . . . . . 20
2.6.1 Types of Piezo Fiber Composite Materials . . . . . . . . . . . . 20
2.6.2 Homogenization of Piezo Fiber Composite . . . . . . . . . . . . 20
2.6.3 Modeling of Piezo Composite Laminated Plates
and Shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Vibration Control of Piezo Smart Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.1 Conventional Control Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.2 Advanced Control Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.3 Intelligent Control Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Geometrically Nonlinear Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Shear Deformation Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Mathematical Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Introduction of Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Base Vectors and Metric Tensor in Shell Space . . . . . . . . . 39
3.2.3 Base Vectors and Metric Tensor at Mid-surface . . . . . . . . . 41
3.2.4 Quantities in Deformed Configurations . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Kinematics of Shell Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Through-Thickness Displacement Distribution . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Shifter Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Strain Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Shell Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Nonlinear Constitutive Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 Piezoelectricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 History of Piezoelectricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Piezoelectric Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Fundamental Theory of Piezoelectricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Coordinate Transformation in Plates and Shells . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Constitutive Relations for Macro-fiber Composites . . . . . . . . . . . . 64
4.4.1 Configurations of Macro-fiber Composites . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2 Constitutive for Plates and Shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.3 Piezo Constants for MFC-d31 Type . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.4 Piezo Constants for MFC-d33 Type . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.5 Parameter Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.6 Multi-layer Piezo Composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Electroelastic Nonlinear Constitutive Relations . . . . . . . . . . . . . . . 71
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2.5.4 Aero-Electro-Elastic Coupled Modeling . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Modeling of Piezo-Fiber Composite Bonded Structures . . . . . . . . 20
2.6.1 Types of Piezo Fiber Composite Materials . . . . . . . . . . . . 20
2.6.2 Homogenization of Piezo Fiber Composite . . . . . . . . . . . . 20
2.6.3 Modeling of Piezo Composite Laminated Plates
and Shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Vibration Control of Piezo Smart Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.1 Conventional Control Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.2 Advanced Control Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7.3 Intelligent Control Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Geometrically Nonlinear Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Shear Deformation Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Mathematical Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Introduction of Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Base Vectors and Metric Tensor in Shell Space . . . . . . . . . 39
3.2.3 Base Vectors and Metric Tensor at Mid-surface . . . . . . . . . 41
3.2.4 Quantities in Deformed Configurations . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Kinematics of Shell Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Through-Thickness Displacement Distribution . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Shifter Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Strain Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Shell Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Nonlinear Constitutive Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 Piezoelectricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 History of Piezoelectricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Piezoelectric Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Fundamental Theory of Piezoelectricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Coordinate Transformation in Plates and Shells . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Constitutive Relations for Macro-fiber Composites . . . . . . . . . . . . 64
4.4.1 Configurations of Macro-fiber Composites . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2 Constitutive for Plates and Shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.3 Piezo Constants for MFC-d31 Type . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.4 Piezo Constants for MFC-d33 Type . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.5 Parameter Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.6 Multi-layer Piezo Composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Electroelastic Nonlinear Constitutive Relations . . . . . . . . . . . . . . . 71
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