4.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Finite Element Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1 Resultant Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Rotation Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Shell Element Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Variational Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 Total Lagrangian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.6 Geometrically Nonlinear FE Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6.1 Dynamic FE Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6.2 Static FE Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.7 Geometrically and Electroelastic Nonlinear FE Model . . . . . . . . . 92
5.8 Numerical Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.8.1 Newmark Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.8.2 Central Difference Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.8.3 Newton-Raphson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.8.4 Riks-Wempner Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 Nonlinear Analysis of Piezoceramic Laminated Structures . . . . . . . . 101
6.1 Benchmark Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.1 Asymmetric Cross-Ply Laminated Plate . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.2 Hinged Thin Arch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.3 Spherical Shell with a Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 Buckling and Post-buckling Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.1 Hinged Panel with Cross-Ply Laminates . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.2 Hinged Panel with Angle-Ply Laminates . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 Geometrically Nonlinear Analysis of Smart Structures . . . . . . . . . 111
6.3.1 Cantilevered Smart Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3.2 Fully Clamped Smart Plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3.3 Fully Clamped Cylindrical Smart Shell . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3.4 PZT Laminated Semicircular Cylindrical Shell . . . . . . . . . 122
6.4 Electroelastic Nonlinear Analysis of Smart Structures . . . . . . . . . . 127
6.4.1 Validation Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4.2 Piezolaminated Semicircular Shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7 Numerical Analysis of Macro-fiber Composite Structures . . . . . . . . . 137
7.1 Linear Analysis of MFC Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.1 Validation Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.2 Isotropic Plate Bonded with MFC-d31 Patches . . . . . . . . . 139
Contents
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