5.6 Verlässlichkeits- und Risikoanalyse
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Definition 5.38: Unter der mittleren Zeit bis zum Ausfall (engl. Mean Time To
Failure (MTTF)) verstehen wir die mittlere Zeit bis zu einem Ausfall unter der
Annahme, dass das System zunächst funktioniert. Diese Zeit ergibt sich als Erwartungswert der Zufallsvariablen x:
MTTF = E {x} =
∫ ∞
0
x f (x)dx
(5.69)
Für die Exponentialverteilung ergibt sich beispielsweise
MTTF =
∫ ∞
0
xλe
−λx dx
(5.70)
Das Integral können wir mit Hilfe der Produktregel (
∫
uv ′ = uv −
∫
u ′ v mit u = x
und v ′ = λe −λx ) bestimmen. Dann ergibt sich aus der Gleichung (5.70):
MTTF = −[xe
−λx ]
∞
0 +
∫ ∞
0
e
−λx dx
(5.71)
= −
1
λ
[e
−λx ]
∞
0 = −
1
λ
[0 − 1] =
1
λ
(5.72)
Bei der Exponentialverteilung ist die mittlere Zeit bis zu einem Ausfall damit gleich
dem Kehrwert der Ausfallrate.
Lemma 5.2 (Blacks Gleichung [55, 49]): Es gilt die folgende empirische Beziehung
zwischen der MTTF und den Betriebstemperaturen:
MTTF =
A
j n
e
e
Ea
k θ
(5.73)
mit
A : Konstante
j e : Stromdichte
n : konstant (1..7), umstritten, =2 gemäß Black
E a : Aktivierungsenergie (z.B. ≈ 0,6 eV)
k : Boltzmann-Konstante (≈ 8,617 * 10 − 5 eV/K)
θ : Temperatur
Unabhängig von den Diskussionen um den korrekten Wert von n zeigt diese Gleichung, dass die Temperatur einen exponentiellen Einfluss auf die Lebensdauer des
Produkts hat. Auch sind die Stromdichten wichtig: um so größer die Stromdichten,
umso kürzer die Lebensdauer des Produkts.
Definition 5.39: Unter der mittleren Zeit bis zur Reparatur (engl. Mean Time To
Repair (MTTR)) verstehen wir die mittlere Zeit bis zur Reparatur eines Ausfalls
unter der Annahme, dass das System zunächst defekt ist. Die MTTR ist der Erwar-