5.6 Verlässlichkeits- und Risikoanalyse
307
0
l
x
0
F(t)
1
t
f(x)
Abb. 5.27 Exponentialverteilung: links: Dichtefunktion; rechts: Wahrscheinlichkeitsverteilung
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein System zum Zeitpunkt t fehlerhaft ist, durch
Integration über die Dichtefunktion. Die so bestimmte Funktion ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
F(t) = Pr(x ≤ t)
(5.58)
F(t) =
∫ t
0
f (x)dx
(5.59)
Für die Exponentialverteilung ergibt sich beispielsweise
F(t) =
∫ t
0
λe
−λx dx = −[e
−λx ]
t
0 = 1 − e
−λt
(5.60)
Abb. 5.27 (rechts) zeigt die entsprechende Funktion. Mit fortschreitender Zeit nähert
sich die Wahrscheinlichkeit, dass das System fehlerhaft ist, dem Wert 1.
Definition 5.36: Unter der Zuverlässigkeit R(t) eines Systems verstehen wir die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zeit bis zum ersten Fehler größer ist als eine Zeit
t:
R(t) = Pr(x > t), t ≥ 0
(5.61)
R(t) =
∫ ∞
t
f (x)dx
(5.62)
F(t) + R(t) =
∫ t
0
f (x)dx +
∫ ∞
t
f (x)dx = 1
(5.63)
R(t) = 1 − F(t)
(5.64)
f (x) = −
dR(t)
dt
(5.65)
Für die Exponentialverteilung ergibt sich R(t) = e −λt . Abb. 5.28 zeigt diese Funktion.
Nach einer Zeit t = 1/λ beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das System funktioniert,
noch ca. 37%.
Definition 5.37: Die Ausfallrate λ(t) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein System im Zeitintervall zwischen t und t + ∆t ausfällt.