3.6 Ausgabe – Schnittstelle zwischen Cyber- und physischer Welt
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erzeugen muss. Zunächst scheint die Berechnung einer solch komplexen Gleichung
mit analogen Schaltungen schwierig zu sein.
Glücklicherweise ist die benötigte Berechnung eine sogenannte Faltungsoperation zwischen dem Signal y(t) und der sinc-Funktion. Nach der klassischen Theorie
der Fouriertransformationen entspricht eine Faltungsoperation im Zeitbereich einer
Multiplikation mit einer zeitabhängigen Filterfunktion im Frequenzbereich. Diese
Filterfunktion ist die Fourier-Transformierte der entsprechenden Funktion über den
Zeitbereich. Daher lässt sich Gleichung (3.29) mit einem passenden Filter berechnen.
Abb. 3.57 zeigt die Lage des Filters.
beitung
VerarFilter
Konv.
Konv.
A/D& hold
Samplealiasing
z(t)
y(t)
x(t)
w(t)
e(t)
g(t)
h(t)
Abb. 3.57 Konvertierung des Signals e(t) aus analogen Zeit- und Wertebereichen in digitale
Bereiche und zurück
Nun bleibt noch die Frage zu beantworten, welche frequenzabhängige Filterfunktion die Fourier-Transformierte der sinc-Funktion ist. Die Berechnung der FourierTransformierten der sinc-Funktion ergibt eine Tiefpass-Filterfunktion [440]. Also
müssen wir „nur” das Signal y(t) mit einem Tiefpassfilter bearbeiten, um die Gleichung (3.29) zu berechnen. Damit filtern wir Frequenzen, wie es für den „idealen
Filter” von Abb. 3.58 gezeigt ist. Hier fällt auf, dass die Darstellung der Funktion y(t)
als Summe von Sinuswellen einige sehr hohe Frequenzkomponenten benötigen würde. Daher entfernt eine solche Filterung Signalanteile mit sehr hohen Frequenzen,
obwohl wir bereits einen Anti-Aliasing-Filter am Eingang vorgesehen hatten.
Abb. 3.58 Tiefpassfilter:
ideal (blau, gestrichelt) und
real (rot, durchgezogene Linie)
s
f
f s
f /2
idealer Filter
realisierbarer Filter
Amplitudengang
Es gibt noch ein weiteres Problem: ideale Tiefpassfilter existieren nicht. Daher
müssen wir Kompromisse eingehen und Filter entwerfen, welche die Eigenschaften eines Tiefpassfilters annähern. Genau genommen müssen wir mit verschiedenen
Unvollkommenheiten zurecht kommen, die eine präzise Rekonstruktion des Eingangssignals verhindern:
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erzeugen muss. Zunächst scheint die Berechnung einer solch komplexen Gleichung
mit analogen Schaltungen schwierig zu sein.
Glücklicherweise ist die benötigte Berechnung eine sogenannte Faltungsoperation zwischen dem Signal y(t) und der sinc-Funktion. Nach der klassischen Theorie
der Fouriertransformationen entspricht eine Faltungsoperation im Zeitbereich einer
Multiplikation mit einer zeitabhängigen Filterfunktion im Frequenzbereich. Diese
Filterfunktion ist die Fourier-Transformierte der entsprechenden Funktion über den
Zeitbereich. Daher lässt sich Gleichung (3.29) mit einem passenden Filter berechnen.
Abb. 3.57 zeigt die Lage des Filters.
beitung
VerarFilter
Konv.
Konv.
A/D& hold
Samplealiasing
z(t)
y(t)
x(t)
w(t)
e(t)
g(t)
h(t)
Abb. 3.57 Konvertierung des Signals e(t) aus analogen Zeit- und Wertebereichen in digitale
Bereiche und zurück
Nun bleibt noch die Frage zu beantworten, welche frequenzabhängige Filterfunktion die Fourier-Transformierte der sinc-Funktion ist. Die Berechnung der FourierTransformierten der sinc-Funktion ergibt eine Tiefpass-Filterfunktion [440]. Also
müssen wir „nur” das Signal y(t) mit einem Tiefpassfilter bearbeiten, um die Gleichung (3.29) zu berechnen. Damit filtern wir Frequenzen, wie es für den „idealen
Filter” von Abb. 3.58 gezeigt ist. Hier fällt auf, dass die Darstellung der Funktion y(t)
als Summe von Sinuswellen einige sehr hohe Frequenzkomponenten benötigen würde. Daher entfernt eine solche Filterung Signalanteile mit sehr hohen Frequenzen,
obwohl wir bereits einen Anti-Aliasing-Filter am Eingang vorgesehen hatten.
Abb. 3.58 Tiefpassfilter:
ideal (blau, gestrichelt) und
real (rot, durchgezogene Linie)
s
f
f s
f /2
idealer Filter
realisierbarer Filter
Amplitudengang
Es gibt noch ein weiteres Problem: ideale Tiefpassfilter existieren nicht. Daher
müssen wir Kompromisse eingehen und Filter entwerfen, welche die Eigenschaften eines Tiefpassfilters annähern. Genau genommen müssen wir mit verschiedenen
Unvollkommenheiten zurecht kommen, die eine präzise Rekonstruktion des Eingangssignals verhindern: