200
3 Hardware eingebetteter Systeme
3.6.2 Abtasttheorem
Nehmen wir an, dass die Prozessoren in der beschriebenen Hardwareschleife eingehende Daten von den A/D-Wandlern unverändert zu den D/A-Wandlern weiterleiten.
Wir könnten uns auch vorstellen, dass wir die Werte x(t) auf einer CD speichern und
daraus ein hervorragendes analoges Audiosignal erzeugen wollen. Wäre es möglich,
die ursprüngliche analoge Spannung e(t) (siehe Abb. 3.8, Abb. 3.21 und Abb. 3.50)
an den Ausgängen des D/A-Wandlers wieder zu erzeugen?
Offensichtlich ist diese Rekonstruktion nicht möglich, wenn Aliasing gemäß Abb.
3.7 auf Seite 148 auftritt16. Wir nehmen also an, dass die Abtastrate mehr als doppelt
so groß wie die höchste Frequenz ist, die bei der Aufspaltung des Eingangssignals
in Sinuswellen auftritt (Abtastkriterium, siehe Gl. (3.8)). Erlaubt uns die Einhaltung
dieses Kriteriums die Rekonstruktion des ursprünglichen Signals? Schauen wir uns
das einmal genauer an!
Wenn man an einen D/A-Wandler eine diskrete Folge digitaler Werte anlegt, so
wird daraus eine Folge analoger Werte erzeugt. Die Werte des Eingangssignals, die
zwischen den Abtastzeitpunkten lagen, werden vom D/A-Wandler nicht erzeugt. Die
beschriebene einfache zero-order-Haltefunktion (wenn vorhanden) würde nur eine
Treppenfunktion erzeugen. Dies scheint darauf hinzudeuten, dass zur Rekonstruktion
von e(t) eine unendlich hohe Abtastrate erforderlich ist, damit alle Zwischenwerte
erzeugt werden können.
Es könnte aber eine Art geschickter Interpolation geben, die Werte zwischen den
Abtastzeitpunkten aus den Werten an den Abtastzeitpunkten berechnet. In der Tat
zeigt die Abtasttheorie [440], dass ein zeitkontinuierliches Signal z(t) aus einer Folge
y(t) analoger Werte erzeugt werden kann.
Seien {t s }, s = ..., −1, 0, 1, 2, ... die Abtastzeitpunkte des Eingangssignals. Wir
nehmen eine konstante Abtastrate von f s =
1
T s
(∀s : T s = t s+1 − t s ) an. Die Abtasttheorie beschreibt die Approximation z(t) von e(t) mit Hilfe von y(t) wie folgt:
z(t) =
∞
s=−∞
y(t s )sin
π
T s
(t − t s )
π
T s
(t − t s )
(3.29)
Diese Gleichung heißt Shannon-Whittaker-Interpolation. y(t) ist der Anteil des
Signals y zum Abtastzeitpunkt t s . Der Einfluss dieses Anteils sinkt umso stärker,
je weiter t von t s entfernt ist. Dabei wird diese Absenkung durch die sogenannte
sinc-Funktion gewichtet:
sinc(t − t s ) =
sin(
π
T s
(t − t s ))
π
T s
(t − t s )
(3.30)
16 Die Rekonstruktion mag möglich sein, wenn zusätzliche Informationen über das Signal vorliegen,
z.B. wenn wir nur bestimmte Signaltypen betrachten.
3 Hardware eingebetteter Systeme
3.6.2 Abtasttheorem
Nehmen wir an, dass die Prozessoren in der beschriebenen Hardwareschleife eingehende Daten von den A/D-Wandlern unverändert zu den D/A-Wandlern weiterleiten.
Wir könnten uns auch vorstellen, dass wir die Werte x(t) auf einer CD speichern und
daraus ein hervorragendes analoges Audiosignal erzeugen wollen. Wäre es möglich,
die ursprüngliche analoge Spannung e(t) (siehe Abb. 3.8, Abb. 3.21 und Abb. 3.50)
an den Ausgängen des D/A-Wandlers wieder zu erzeugen?
Offensichtlich ist diese Rekonstruktion nicht möglich, wenn Aliasing gemäß Abb.
3.7 auf Seite 148 auftritt16. Wir nehmen also an, dass die Abtastrate mehr als doppelt
so groß wie die höchste Frequenz ist, die bei der Aufspaltung des Eingangssignals
in Sinuswellen auftritt (Abtastkriterium, siehe Gl. (3.8)). Erlaubt uns die Einhaltung
dieses Kriteriums die Rekonstruktion des ursprünglichen Signals? Schauen wir uns
das einmal genauer an!
Wenn man an einen D/A-Wandler eine diskrete Folge digitaler Werte anlegt, so
wird daraus eine Folge analoger Werte erzeugt. Die Werte des Eingangssignals, die
zwischen den Abtastzeitpunkten lagen, werden vom D/A-Wandler nicht erzeugt. Die
beschriebene einfache zero-order-Haltefunktion (wenn vorhanden) würde nur eine
Treppenfunktion erzeugen. Dies scheint darauf hinzudeuten, dass zur Rekonstruktion
von e(t) eine unendlich hohe Abtastrate erforderlich ist, damit alle Zwischenwerte
erzeugt werden können.
Es könnte aber eine Art geschickter Interpolation geben, die Werte zwischen den
Abtastzeitpunkten aus den Werten an den Abtastzeitpunkten berechnet. In der Tat
zeigt die Abtasttheorie [440], dass ein zeitkontinuierliches Signal z(t) aus einer Folge
y(t) analoger Werte erzeugt werden kann.
Seien {t s }, s = ..., −1, 0, 1, 2, ... die Abtastzeitpunkte des Eingangssignals. Wir
nehmen eine konstante Abtastrate von f s =
1
T s
(∀s : T s = t s+1 − t s ) an. Die Abtasttheorie beschreibt die Approximation z(t) von e(t) mit Hilfe von y(t) wie folgt:
z(t) =
∞
s=−∞
y(t s )sin
π
T s
(t − t s )
π
T s
(t − t s )
(3.29)
Diese Gleichung heißt Shannon-Whittaker-Interpolation. y(t) ist der Anteil des
Signals y zum Abtastzeitpunkt t s . Der Einfluss dieses Anteils sinkt umso stärker,
je weiter t von t s entfernt ist. Dabei wird diese Absenkung durch die sogenannte
sinc-Funktion gewichtet:
sinc(t − t s ) =
sin(
π
T s
(t − t s ))
π
T s
(t − t s )
(3.30)
16 Die Rekonstruktion mag möglich sein, wenn zusätzliche Informationen über das Signal vorliegen,
z.B. wenn wir nur bestimmte Signaltypen betrachten.