3.2 Eingabe – Schnittstelle zwischen physischer und Cyber-Welt
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Allgemein können wir anhand abgetasteter Signale nicht zwischen einem langsamen
Signal e 3 (t) und einem sich schneller ändernden Signal e 4 (t) unterscheiden, wenn
e 3 (t) und e 4 (t) zu den Abtastzeitpunkten identisch sind. Diese Tatsache, dass zwei
oder mehr Ausgangssignale nach der Abtastung dieselbe Darstellung besitzen, bezeichnet man als Aliasing. Wir tasten e 4 (t) nicht oft genug ab, um z.B. festzustellen,
dass Steigungsänderungen zwischen den ganzzahligen Abtastzeitpunkten auftreten.
Aus diesem Gegenbeispiel können wir folgern, dass die Rekonstruktion des ursprünglichen Signals nicht machbar ist, solange wir keine zusätzlichen Informationen über die in dem Signal vorhandenen Frequenzen oder Wellenformen
besitzen.
Wie häufig müssen wir nun Signale abtasten, um zwischen zwei unterschiedlichen
Sinuswellen unterscheiden zu können? Wir nehmen an, dass wir das Eingangssignal
in konstanten Zeitabständen abtasten, sodass T s die Abtastperiode ist:
∀s : T s = t s+1 − t s
(3.5)
Sei
f s =
1
T s
(3.6)
die Abtastrate oder Abtastfrequenz. Gemäß Abtasttheorie gilt [440]:
Theorem 3.1 (Abtasttheorem): Für die o.a. Definition kann Aliasing vermieden
werden, wenn Folgendes gilt:
T s <
T N
2
mit T N : Periode des „schnellsten” Sinussignals bzw.
(3.7)
f s > 2 f N mit f N : Frequenz des schnellsten Sinussignals
(3.8)
Definition 3.3: f N wird Nyquist-Frequenz genannt, f s ist die Abtastrate.
Die Bedingung in Gleichung (3.8) wird Abtastkriterium oder manchmal auch
Nyquistsches Abtastkriterium genannt.
Die Rekonstruktion von Eingangssignalen e(t) aus diskreten Abtastwerten h(t)
kann also nur funktionieren, wenn wir sicherstellen, dass höhere Frequenzkomponenten, wie die in e 4 (t) vorkommende, entfernt wurden. Dies ist die Aufgabe von Antialiasing-Filtern. Anti-aliasing-Filter werden vor die Sample-and-hold-Schaltung geschaltet (siehe Abb. 3.8).
Sample& hold
aliasing
e(t)
g(t)
h(t)
Abb. 3.8 Der Sample-and-hold-Schaltung vorgeschaltetes Anti-aliasing
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Allgemein können wir anhand abgetasteter Signale nicht zwischen einem langsamen
Signal e 3 (t) und einem sich schneller ändernden Signal e 4 (t) unterscheiden, wenn
e 3 (t) und e 4 (t) zu den Abtastzeitpunkten identisch sind. Diese Tatsache, dass zwei
oder mehr Ausgangssignale nach der Abtastung dieselbe Darstellung besitzen, bezeichnet man als Aliasing. Wir tasten e 4 (t) nicht oft genug ab, um z.B. festzustellen,
dass Steigungsänderungen zwischen den ganzzahligen Abtastzeitpunkten auftreten.
Aus diesem Gegenbeispiel können wir folgern, dass die Rekonstruktion des ursprünglichen Signals nicht machbar ist, solange wir keine zusätzlichen Informationen über die in dem Signal vorhandenen Frequenzen oder Wellenformen
besitzen.
Wie häufig müssen wir nun Signale abtasten, um zwischen zwei unterschiedlichen
Sinuswellen unterscheiden zu können? Wir nehmen an, dass wir das Eingangssignal
in konstanten Zeitabständen abtasten, sodass T s die Abtastperiode ist:
∀s : T s = t s+1 − t s
(3.5)
Sei
f s =
1
T s
(3.6)
die Abtastrate oder Abtastfrequenz. Gemäß Abtasttheorie gilt [440]:
Theorem 3.1 (Abtasttheorem): Für die o.a. Definition kann Aliasing vermieden
werden, wenn Folgendes gilt:
T s <
T N
2
mit T N : Periode des „schnellsten” Sinussignals bzw.
(3.7)
f s > 2 f N mit f N : Frequenz des schnellsten Sinussignals
(3.8)
Definition 3.3: f N wird Nyquist-Frequenz genannt, f s ist die Abtastrate.
Die Bedingung in Gleichung (3.8) wird Abtastkriterium oder manchmal auch
Nyquistsches Abtastkriterium genannt.
Die Rekonstruktion von Eingangssignalen e(t) aus diskreten Abtastwerten h(t)
kann also nur funktionieren, wenn wir sicherstellen, dass höhere Frequenzkomponenten, wie die in e 4 (t) vorkommende, entfernt wurden. Dies ist die Aufgabe von Antialiasing-Filtern. Anti-aliasing-Filter werden vor die Sample-and-hold-Schaltung geschaltet (siehe Abb. 3.8).
Sample& hold
aliasing
e(t)
g(t)
h(t)
Abb. 3.8 Der Sample-and-hold-Schaltung vorgeschaltetes Anti-aliasing