100
2 Spezifikation und Modellierung
werden dreiwertige Logikmengen {0, 1, Z} in der Regel durch einen vierten
Wert mit dem Namen X ergänzt. X beschreibt den unbekannten Signalwert
der gleichen Stärke wie 0 und 1. Genauer ausgedrückt wird der Wert X
verwendet, um unbekannte Signale darzustellen, die entweder einen der Werte 0
oder 1 haben oder aber eine Spannung darstellen, die keinem dieser beiden Werte
entspricht18.
Wenn mehrere Signale verbunden werden, dann müssen wir den resultierenden
Signalwert berechnen. Dies kann man tun, indem man die partielle Ordnung der
vier Signalwerte 0, 1, Z und ’X’ gemäß ihrer Signalstärke ausnutzt. Diese
partielle Ordnung ist im Hasse-Diagramm in Abb. 2.60 dargestellt: Die Kanten in
Abb. 2.60 Partielle Ordnung der Wertemenge
{0, 1, Z, X}
der Abbildung zeigen die Dominanz von Signalwerten. Die Kanten definieren eine
Relation > auf den Elementen. Wenn a > b, dann dominiert a das Signal b (oder b
wird von a dominiert). 0 und 1 dominieren Z , wohingegen X alle anderen
Signalwerte dominiert. Ausgehend von der Relation > definieren wir eine Relation
≥. Die Aussage a ≥ b gilt genau dann, wenn a > b oder wenn a = b.
Wir definieren weiter eine Operation sup auf zwei Signalen, die das Supremum
der beiden Signalwerte zurückliefert.
Definition 2.23: Seien a und b zwei Signalwerte einer partiell geordneten Menge
(S, ≥). Das Supremum c ∈ S ist das schwächste Signal, für das c ≥ a und c ≥ b
gilt.
So ist z.B. sup (Z ,0) = 0, sup(Z ,1)=1, sup (0,1) = X usw.
Lemma 2.1: Seien a und b zwei Signale einer partiell geordneten Menge, wobei die
partiell geordnete Menge wie oben gewählt sei. Dann berechnet die sup-Funktion
den Signalwert, der sich ergibt, wenn man die beiden Signale miteinander verbindet.
Sup entspricht dem connect-Element der CSA-Theorie.
Drei Signalstärken (Sieben Signalwerte)
Für viele Schaltungen sind zwei Signalstärken nicht ausreichend. Ein häufig vorkommender Fall, der mehr Werte benötigt, ist die Verwendung von sogenannten
Verarmungstransistoren (engl. depletion transistors, siehe Abb. 2.61).
18 Es gibt auch andere Interpretationen von X [65], aber die oben genannte Interpretation ist für
unsere Zwecke am Besten geeignet.
am stärksten
am schwächsten
2 Spezifikation und Modellierung
werden dreiwertige Logikmengen {0, 1, Z} in der Regel durch einen vierten
Wert mit dem Namen X ergänzt. X beschreibt den unbekannten Signalwert
der gleichen Stärke wie 0 und 1. Genauer ausgedrückt wird der Wert X
verwendet, um unbekannte Signale darzustellen, die entweder einen der Werte 0
oder 1 haben oder aber eine Spannung darstellen, die keinem dieser beiden Werte
entspricht18.
Wenn mehrere Signale verbunden werden, dann müssen wir den resultierenden
Signalwert berechnen. Dies kann man tun, indem man die partielle Ordnung der
vier Signalwerte 0, 1, Z und ’X’ gemäß ihrer Signalstärke ausnutzt. Diese
partielle Ordnung ist im Hasse-Diagramm in Abb. 2.60 dargestellt: Die Kanten in
Abb. 2.60 Partielle Ordnung der Wertemenge
{0, 1, Z, X}
der Abbildung zeigen die Dominanz von Signalwerten. Die Kanten definieren eine
Relation > auf den Elementen. Wenn a > b, dann dominiert a das Signal b (oder b
wird von a dominiert). 0 und 1 dominieren Z , wohingegen X alle anderen
Signalwerte dominiert. Ausgehend von der Relation > definieren wir eine Relation
≥. Die Aussage a ≥ b gilt genau dann, wenn a > b oder wenn a = b.
Wir definieren weiter eine Operation sup auf zwei Signalen, die das Supremum
der beiden Signalwerte zurückliefert.
Definition 2.23: Seien a und b zwei Signalwerte einer partiell geordneten Menge
(S, ≥). Das Supremum c ∈ S ist das schwächste Signal, für das c ≥ a und c ≥ b
gilt.
So ist z.B. sup (Z ,0) = 0, sup(Z ,1)=1, sup (0,1) = X usw.
Lemma 2.1: Seien a und b zwei Signale einer partiell geordneten Menge, wobei die
partiell geordnete Menge wie oben gewählt sei. Dann berechnet die sup-Funktion
den Signalwert, der sich ergibt, wenn man die beiden Signale miteinander verbindet.
Sup entspricht dem connect-Element der CSA-Theorie.
Drei Signalstärken (Sieben Signalwerte)
Für viele Schaltungen sind zwei Signalstärken nicht ausreichend. Ein häufig vorkommender Fall, der mehr Werte benötigt, ist die Verwendung von sogenannten
Verarmungstransistoren (engl. depletion transistors, siehe Abb. 2.61).
18 Es gibt auch andere Interpretationen von X [65], aber die oben genannte Interpretation ist für
unsere Zwecke am Besten geeignet.
am stärksten
am schwächsten