q "|", "||", "OR" selon les langages de programmation.
La suite utilisera la première notation avec le signe « + ». La loi OU est souvent associée avec l’addition, ce qui se révèle totalement
faux. En effet, 1+1 (addition binaire) vaut 0 avec une retenue de 1. Or, 1+1 est VRAI, donc 1… Attention au danger !
La loi OU peut être décrite sous forme de table.
e. Le contraire
Le contraire, appelé aussi négation se définit ainsi :
Le contraire de a est VRAI seulement si a est FAUX.
Vous avez déjà rencontré le contraire avec l’opérateur NON. Le contraire est noté comme ceci :
q nona
q ā
q ¬a
q "!", "NOT", "~" selon les langages de programmation.
Ainsi il suffit de retenir que ¬1=0 et que ¬0=1. Par la suite, ce sont les formes ā ou ¬ā qui seront utilisées, selon le cas (ex : ¬ā pour
non non a).
f. Les propriétés
Elle est identique à l’algèbre classique. Dans certains cas, les parenthèses sont inutiles. Ainsi :
a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c
Et encore :
a.(b.c)=(a.b).c=a.b.c
Elle indique que l’ordre des variables logiques n’a aucune importance :
a+b=b+a
Et encore :
a.b=b.a
Attention, cette fois il y a une différence importante par rapport à l’algèbre classique et la distribution liée aux opérateurs + et *. C’est
la raison pour laquelle il a été expliqué qu’il ne fallait pas les confondre avec les symboles logiques. En effet, si :
a.(b+c)=(a.b)+(a.c)
est identique,
a+(b.c)=(a+b).(a+c)
ne l’est pas du tout, mais est parfaitement correct en algèbre de Boole.
L’idempotence signifie que si on applique la même opération une ou plusieurs fois alors on retrouve toujours le même résultat. Par
exemple 3/1 vaut toujours 3, même si vous divisez n fois par 1. Cette propriété s’applique aux deux opérateurs. Ainsi :
a.a.a.a.a.a.a.a (etc)=a
et
a+a+a+a+a+a (etc)=a
Loi OU
a\b
0
1
0
0
1
1
1
1
L’associativité
La commutativité
La distributivité
L’idempotence
- 4 -
© ENI Editions - All rigths reserved - Jonifar lina
64
La suite utilisera la première notation avec le signe « + ». La loi OU est souvent associée avec l’addition, ce qui se révèle totalement
faux. En effet, 1+1 (addition binaire) vaut 0 avec une retenue de 1. Or, 1+1 est VRAI, donc 1… Attention au danger !
La loi OU peut être décrite sous forme de table.
e. Le contraire
Le contraire, appelé aussi négation se définit ainsi :
Le contraire de a est VRAI seulement si a est FAUX.
Vous avez déjà rencontré le contraire avec l’opérateur NON. Le contraire est noté comme ceci :
q nona
q ā
q ¬a
q "!", "NOT", "~" selon les langages de programmation.
Ainsi il suffit de retenir que ¬1=0 et que ¬0=1. Par la suite, ce sont les formes ā ou ¬ā qui seront utilisées, selon le cas (ex : ¬ā pour
non non a).
f. Les propriétés
Elle est identique à l’algèbre classique. Dans certains cas, les parenthèses sont inutiles. Ainsi :
a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c
Et encore :
a.(b.c)=(a.b).c=a.b.c
Elle indique que l’ordre des variables logiques n’a aucune importance :
a+b=b+a
Et encore :
a.b=b.a
Attention, cette fois il y a une différence importante par rapport à l’algèbre classique et la distribution liée aux opérateurs + et *. C’est
la raison pour laquelle il a été expliqué qu’il ne fallait pas les confondre avec les symboles logiques. En effet, si :
a.(b+c)=(a.b)+(a.c)
est identique,
a+(b.c)=(a+b).(a+c)
ne l’est pas du tout, mais est parfaitement correct en algèbre de Boole.
L’idempotence signifie que si on applique la même opération une ou plusieurs fois alors on retrouve toujours le même résultat. Par
exemple 3/1 vaut toujours 3, même si vous divisez n fois par 1. Cette propriété s’applique aux deux opérateurs. Ainsi :
a.a.a.a.a.a.a.a (etc)=a
et
a+a+a+a+a+a (etc)=a
Loi OU
a\b
0
1
0
0
1
1
1
1
L’associativité
La commutativité
La distributivité
L’idempotence
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