4 Linear Block Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Dual Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 New Codes from Old . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.1 Puncturing Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.2 Code Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.3 Code Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.4 Direct Sum and Direct Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.5 The ðuju þ vÞ Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Cyclic Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Algebraic Geometry Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Quantum Code Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 BCH Codes—Part I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.1 Construction I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.2 Construction II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.3 Construction III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1.4 Construction IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.5 Construction V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.6 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 BCH Codes—Part II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.1 Properties of q-cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.2 Code Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.3 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 BCH Codes—Part III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.1 Construction I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.2 Construction II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.3 Construction III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3.4 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Algebraic Geometry Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.2 Our Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.5 Quantum Synchronizable Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5.1 Synchronizable Codes from Cyclic Codes . . . . . . . . . . . . . 119
5.5.2 Synchronizable Codes from BCH Codes . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5.3 Synchronizable Codes from Product Codes . . . . . . . . . . . . 122
6 Asymmetric Quantum Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2 Error Groups and Asymmetric Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3 Asymmetric BCH Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3.1 Code Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
xii
Contents