Contents
1 Some Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Diagonalizable Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.7 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.8 Commutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 A Little Bit of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Postulates of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Ensemble of Quantum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Universal Quantum Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Single Qubit Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Multiple Qubit Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3 Quantum Channels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Quantum Error-Correcting Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 The Shor Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Three Qubit Bit Flip Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Three Qubit Phase Flip Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.3 The Shor Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 The Steane Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Five-Qubit Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Stabilizer Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Calderbank–Shor–Steane Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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1 Some Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3 Diagonalizable Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.6 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.7 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.8 Commutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 A Little Bit of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Postulates of Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Ensemble of Quantum States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Universal Quantum Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Single Qubit Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Multiple Qubit Gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3 Quantum Channels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Quantum Error-Correcting Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 The Shor Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Three Qubit Bit Flip Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Three Qubit Phase Flip Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.3 The Shor Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 The Steane Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Five-Qubit Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Stabilizer Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Calderbank–Shor–Steane Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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