6.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4.1 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5 Reed–Solomon and GRS Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5.1 Review of RS and GRS Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5.2 Construction I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.5.3 Construction II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.5.4 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6 Tensor Product Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.6.1 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.7 New Codes from Old . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.7.1 Code Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.7.2 Direct Sum Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.7.3 Puncturing Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.7.4 Code Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.7.5 The ðuju þ vÞ Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.7.6 Code Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7 Constructions of QCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.1 Convolutional Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2 Defining QCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.3 Constructions of Optimal QCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3.1 Optimal Convolutional Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3.2 Construction of Optimal QCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.4 More QCCs from BCH Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.4.1 Construction I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.4.2 Construction II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4.3 Construction III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.4.4 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.5 QCCs from Negacyclic Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.5.1 Negacyclic Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.5.2 Convolutional MDS Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5.3 More Optimal QCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.6 QCCs from AG Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.6.1 Convolutional AG Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.6.2 Quantum Convolutional AG Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.7 AQCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.7.1 Construction I—General Construction . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.7.2 Construction II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.7.3 Construction III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.7.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Appendix: Review of Basic Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Contents
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6.4.1 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5 Reed–Solomon and GRS Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5.1 Review of RS and GRS Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5.2 Construction I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.5.3 Construction II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.5.4 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6 Tensor Product Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.6.1 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.7 New Codes from Old . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.7.1 Code Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.7.2 Direct Sum Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.7.3 Puncturing Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.7.4 Code Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.7.5 The ðuju þ vÞ Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.7.6 Code Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7 Constructions of QCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.1 Convolutional Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2 Defining QCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.3 Constructions of Optimal QCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3.1 Optimal Convolutional Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3.2 Construction of Optimal QCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.4 More QCCs from BCH Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.4.1 Construction I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.4.2 Construction II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4.3 Construction III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.4.4 Code Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.5 QCCs from Negacyclic Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.5.1 Negacyclic Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.5.2 Convolutional MDS Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5.3 More Optimal QCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.6 QCCs from AG Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.6.1 Convolutional AG Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.6.2 Quantum Convolutional AG Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.7 AQCCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.7.1 Construction I—General Construction . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.7.2 Construction II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.7.3 Construction III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.7.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Appendix: Review of Basic Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Contents
xiii