2.5 Exercices
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Fig. 2.14. Un zoom sur un des pavages archim´ ediens (voir l’exercice 14). La liste des polygones
se rencontrant en un sommet est d´ enot´ ee par (4, 3, 3, 4, 3).
Fig. 2.15. Un icosa` edre et le pavage de la sph` ere correspondant (exercice 15).
sommets sur une sph` ere. (On dit qu’il est inscrit dans la sph` ere.) C’est le cas
des poly` edres archim´ ediens : toutes leurs faces sont des polygones r´ eguliers de
mˆ eme arˆ ete, et tous les sommets ont les mˆ emes polygones. Mˆ eme si les poly` edres
r´ eguliers, dits platoniques, respectent ces conditions, on restreint l’adjectif « archim´ edien » aux poly` edres dont les faces contiennent au moins deux types de
polygones distincts. Un exemple de poly` edre archim´ edien est le ballon de soccer
ou icosa` edre tronqu´ e (figure 2.16). Chaque sommet appartient `
a deux hexagones
et `
a un pentagone. On le d´ enotera donc par (5, 6, 6). La classification des pavages
archim´ ediens de la sph` ere se d´ ecompose en trois listes : les prismes, les antiprismes
et les 13 pavages exceptionnels. (Certains auteurs n’accordent le nom de pavage
(ou solide) archim´ edien qu’` a ces 13 derniers.)
a) La liste (n 1 , n 2 , . . . , n m ) des polygones se rencontrant en un sommet du poly` edre
doit remplir deux conditions simples. Pour que chaque sommet soit convexe (et non
plan), il faut que la somme des angles internes soit inf´ erieure ` a 2π :
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Fig. 2.14. Un zoom sur un des pavages archim´ ediens (voir l’exercice 14). La liste des polygones
se rencontrant en un sommet est d´ enot´ ee par (4, 3, 3, 4, 3).
Fig. 2.15. Un icosa` edre et le pavage de la sph` ere correspondant (exercice 15).
sommets sur une sph` ere. (On dit qu’il est inscrit dans la sph` ere.) C’est le cas
des poly` edres archim´ ediens : toutes leurs faces sont des polygones r´ eguliers de
mˆ eme arˆ ete, et tous les sommets ont les mˆ emes polygones. Mˆ eme si les poly` edres
r´ eguliers, dits platoniques, respectent ces conditions, on restreint l’adjectif « archim´ edien » aux poly` edres dont les faces contiennent au moins deux types de
polygones distincts. Un exemple de poly` edre archim´ edien est le ballon de soccer
ou icosa` edre tronqu´ e (figure 2.16). Chaque sommet appartient `
a deux hexagones
et `
a un pentagone. On le d´ enotera donc par (5, 6, 6). La classification des pavages
archim´ ediens de la sph` ere se d´ ecompose en trois listes : les prismes, les antiprismes
et les 13 pavages exceptionnels. (Certains auteurs n’accordent le nom de pavage
(ou solide) archim´ edien qu’` a ces 13 derniers.)
a) La liste (n 1 , n 2 , . . . , n m ) des polygones se rencontrant en un sommet du poly` edre
doit remplir deux conditions simples. Pour que chaque sommet soit convexe (et non
plan), il faut que la somme des angles internes soit inf´ erieure ` a 2π :