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2 Frises et mosa¨ ıques
Fig. 2.16. Un icosa` edre tronqu´ e et le pavage de la sph` ere correspondant (exercice 15).
π
m
i=0
n i − 2
n i
< 2π.
C’est la premi` ere condition. La seconde repose sur le th´ eor` eme de Descartes.
Chaque sommet du poly` edre porte un d´ eficit d’angle d´ efini par Δ = 2π−π
i (n i −
2)/n i . Le th´ eor` eme de Descartes affirme que la somme des d´ eficits en chacun des
sommets du poly` edre doit ˆ etre ´ egale `
a 4π. Puisque tous les sommets d’un poly` edre
archim´ edien sont identiques, il faut donc que 4π/Δ, qui est le nombre de sommets,
soit un entier. Ceci est la seconde condition. V´ erifier que le ballon de soccer satisfait ` a ces deux conditions. (Nous verrons en d) qu’elles ne sont pas suffisantes.)
b) Un prisme est un poly` edre poss´ edant deux faces polygonales identiques et
parall` eles. Les arˆ etes de ces deux faces sont reli´ ees par des carr´ es. Ils forment une
famille infinie et sont d´ enot´ es par (4, 4, n), n ≥ 3. Convainquez-vous que tous
les sommets sont d´ ecrits par la liste (4, 4, n) et dessinez un prisme, par exemple
(4, 4, 5). V´ erifiez que la liste (4, 4, n) passe les deux tests d´ ecrits en a) quel que soit
n. (Lorsque n est assez grand, la forme est tr` es semblable ` a celle d’un tambour.)
c) Un antiprisme est un poly` edre poss´ edant deux faces parall` eles ` a n cˆ ot´ es. La
seconde face est tourn´ ee d’un angle
π
n par rapport `
a la premi` ere, de telle sorte
que les arˆ etes de ces deux faces puissent ˆ etre reli´ ees par des triangles ´ equilat´ eraux.
Les antiprismes forment une famille infinie et sont d´ enot´ es par (3, 3, 3, n), n ≥ 4.
R´ epondre aux questions soulev´ ees ci-dessus pour les prismes.
d) Montrer que la liste (3, 4, 12) passe les deux tests d´ ecrits en a). Pourtant, il
est impossible de construire un poly` edre r´ egulier `
a partir de cette liste. Pourquoi ?
Indice : commencer par rassembler un triangle, un carr´ e et un polygone `
a 12 cˆ ot´ es
(un dod´ ecagone) en un de leurs sommets. Consid´ erer alors les autres sommets
de ces trois faces. Est-il possible que la mˆ eme configuration de trois polygones
impos´ ee par la liste (3, 4, 12) s’y retrouve ? (Ceci est la question la plus difficile de
cette classification !)
e) Montrer qu’il existe 13 pavages archim´ ediens de la sph` ere (ou encore 13
poly` edres archim´ ediens) n’appartenant pas aux listes des prismes et des antiprismes. (Le ballon de soccer est l’un de ces 13 pavages.)
2 Frises et mosa¨ ıques
Fig. 2.16. Un icosa` edre tronqu´ e et le pavage de la sph` ere correspondant (exercice 15).
π
m
i=0
n i − 2
n i
< 2π.
C’est la premi` ere condition. La seconde repose sur le th´ eor` eme de Descartes.
Chaque sommet du poly` edre porte un d´ eficit d’angle d´ efini par Δ = 2π−π
i (n i −
2)/n i . Le th´ eor` eme de Descartes affirme que la somme des d´ eficits en chacun des
sommets du poly` edre doit ˆ etre ´ egale `
a 4π. Puisque tous les sommets d’un poly` edre
archim´ edien sont identiques, il faut donc que 4π/Δ, qui est le nombre de sommets,
soit un entier. Ceci est la seconde condition. V´ erifier que le ballon de soccer satisfait ` a ces deux conditions. (Nous verrons en d) qu’elles ne sont pas suffisantes.)
b) Un prisme est un poly` edre poss´ edant deux faces polygonales identiques et
parall` eles. Les arˆ etes de ces deux faces sont reli´ ees par des carr´ es. Ils forment une
famille infinie et sont d´ enot´ es par (4, 4, n), n ≥ 3. Convainquez-vous que tous
les sommets sont d´ ecrits par la liste (4, 4, n) et dessinez un prisme, par exemple
(4, 4, 5). V´ erifiez que la liste (4, 4, n) passe les deux tests d´ ecrits en a) quel que soit
n. (Lorsque n est assez grand, la forme est tr` es semblable ` a celle d’un tambour.)
c) Un antiprisme est un poly` edre poss´ edant deux faces parall` eles ` a n cˆ ot´ es. La
seconde face est tourn´ ee d’un angle
π
n par rapport `
a la premi` ere, de telle sorte
que les arˆ etes de ces deux faces puissent ˆ etre reli´ ees par des triangles ´ equilat´ eraux.
Les antiprismes forment une famille infinie et sont d´ enot´ es par (3, 3, 3, n), n ≥ 4.
R´ epondre aux questions soulev´ ees ci-dessus pour les prismes.
d) Montrer que la liste (3, 4, 12) passe les deux tests d´ ecrits en a). Pourtant, il
est impossible de construire un poly` edre r´ egulier `
a partir de cette liste. Pourquoi ?
Indice : commencer par rassembler un triangle, un carr´ e et un polygone `
a 12 cˆ ot´ es
(un dod´ ecagone) en un de leurs sommets. Consid´ erer alors les autres sommets
de ces trois faces. Est-il possible que la mˆ eme configuration de trois polygones
impos´ ee par la liste (3, 4, 12) s’y retrouve ? (Ceci est la question la plus difficile de
cette classification !)
e) Montrer qu’il existe 13 pavages archim´ ediens de la sph` ere (ou encore 13
poly` edres archim´ ediens) n’appartenant pas aux listes des prismes et des antiprismes. (Le ballon de soccer est l’un de ces 13 pavages.)