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2 Frises et mosa¨ ıques
pourraient correspondre au mˆ eme groupe.) Un pavage archim´ edien est un pavage
du plan constitu´ e de polygones r´ eguliers tels que chaque sommet est du mˆ eme
type. Pour que deux sommets soient du mˆ eme type, il faut que les polygones qui
s’y rencontrent soient les mˆ emes aux deux sommets et qu’ils apparaissent dans
le mˆ eme ordre si on tourne autour des sommets dans le mˆ eme sens ou dans le
sens inverse. Il peut arriver que l’image miroir d’un pavage ne puisse ˆ etre obtenue
par translation et rotation du pavage original. Si on confond un pavage et son
image miroir (lorsqu’elle est distincte), il existe exactement 11 familles de pavages
archim´ ediens. L’image miroir est distincte du pavage original pour une seule de
ces familles. Pourriez-vous l’identifier ?
14. Un petit d´ efi : la classification des pavages archim´ ediens (voir l’exercice 13).
a) D´ enotons par n le polygone r´ egulier `
a n cˆ ot´ es. Ses angles int´ erieurs sont tous
´ egaux `
a
(n−2)π
n
. (Le montrer !) Soit un pavage archim´ edien, et soit (n 1 , n 2 , . . . , n m )
la liste des m polygones se rencontrant en un sommet de ce pavage. La somme des
angles en ce sommet doit ˆ etre 2π et donc,
2π =
(n 1 − 2)π
n 1
+
(n 2 − 2)π
n 2
+ · · · +
(n m − 2)π
n m
.
Par exemple, pour le pavage archim´ edien de la figure 2.14, les polygones qui se
rencontrent en un sommet sont ´ etiquet´ es par la liste (4, 3, 3, 4, 3) et, tel que d´ esir´ e,
(4 − 2)π
4
+
(3 − 2)π
3
+
(3 − 2)π
3
+
(4 − 2)π
4
+
(3 − 2)π
3
= 2π.
´
Enum´ erer toutes les listes (n 1 , n 2 , . . . , n m ) de polygones se rencontrant en un sommet. R´ eponse partielle : il y en a 17 si on ne distingue pas deux listes ne diff´ erant
que par l’ordre de leurs ´ el´ ements.
b) Pourquoi la liste de polygones (5, 5, 10) ne d´ efinit-elle pas un pavage du plan ?
c) Pour tous les ´ el´ ements de l’´ enum´ eration obtenue en a), v´ erifier si l’ensemble
des polygones (n 1 , n 2 , . . . , n m ) en un sommet permet d’engendrer un pavage du
plan. Attention : l’ordre des ´ el´ ements dans la liste (n 1 , n 2 , . . . , n m ) est important !
15. Un d´ efi : la classification des pavages archim´ ediens sur la sph` ere.
A chaque poly` edre r´ egulier (le t´ etra` edre, le cube, l’octa` edre, l’icosa` edre et le
dod´ eca` edre) correspond un pavage r´ egulier de la sph` ere. Cette correspondance se
fait comme suit :
• le poly` edre est centr´ e en l’origine. Les distances entre l’origine et les sommets
sont alors les mˆ emes, et on consid` ere la sph` ere passant par tous ces sommets ;
• on joint par des arcs de grands cercles sur la sph` ere deux sommets du poly` edre
reli´ es par une arˆ ete.
Le r´ esultat est le pavage de la sph` ere d´ esir´ e. (Cette correspondance est aussi d´ ecrite
dans la section 15.8.) La figure 2.15 montre cette construction pour l’icosa` edre.
Cette construction peut ˆ etre faite chaque fois qu’un poly` edre poss` ede tous ses
2 Frises et mosa¨ ıques
pourraient correspondre au mˆ eme groupe.) Un pavage archim´ edien est un pavage
du plan constitu´ e de polygones r´ eguliers tels que chaque sommet est du mˆ eme
type. Pour que deux sommets soient du mˆ eme type, il faut que les polygones qui
s’y rencontrent soient les mˆ emes aux deux sommets et qu’ils apparaissent dans
le mˆ eme ordre si on tourne autour des sommets dans le mˆ eme sens ou dans le
sens inverse. Il peut arriver que l’image miroir d’un pavage ne puisse ˆ etre obtenue
par translation et rotation du pavage original. Si on confond un pavage et son
image miroir (lorsqu’elle est distincte), il existe exactement 11 familles de pavages
archim´ ediens. L’image miroir est distincte du pavage original pour une seule de
ces familles. Pourriez-vous l’identifier ?
14. Un petit d´ efi : la classification des pavages archim´ ediens (voir l’exercice 13).
a) D´ enotons par n le polygone r´ egulier `
a n cˆ ot´ es. Ses angles int´ erieurs sont tous
´ egaux `
a
(n−2)π
n
. (Le montrer !) Soit un pavage archim´ edien, et soit (n 1 , n 2 , . . . , n m )
la liste des m polygones se rencontrant en un sommet de ce pavage. La somme des
angles en ce sommet doit ˆ etre 2π et donc,
2π =
(n 1 − 2)π
n 1
+
(n 2 − 2)π
n 2
+ · · · +
(n m − 2)π
n m
.
Par exemple, pour le pavage archim´ edien de la figure 2.14, les polygones qui se
rencontrent en un sommet sont ´ etiquet´ es par la liste (4, 3, 3, 4, 3) et, tel que d´ esir´ e,
(4 − 2)π
4
+
(3 − 2)π
3
+
(3 − 2)π
3
+
(4 − 2)π
4
+
(3 − 2)π
3
= 2π.
´
Enum´ erer toutes les listes (n 1 , n 2 , . . . , n m ) de polygones se rencontrant en un sommet. R´ eponse partielle : il y en a 17 si on ne distingue pas deux listes ne diff´ erant
que par l’ordre de leurs ´ el´ ements.
b) Pourquoi la liste de polygones (5, 5, 10) ne d´ efinit-elle pas un pavage du plan ?
c) Pour tous les ´ el´ ements de l’´ enum´ eration obtenue en a), v´ erifier si l’ensemble
des polygones (n 1 , n 2 , . . . , n m ) en un sommet permet d’engendrer un pavage du
plan. Attention : l’ordre des ´ el´ ements dans la liste (n 1 , n 2 , . . . , n m ) est important !
15. Un d´ efi : la classification des pavages archim´ ediens sur la sph` ere.
A chaque poly` edre r´ egulier (le t´ etra` edre, le cube, l’octa` edre, l’icosa` edre et le
dod´ eca` edre) correspond un pavage r´ egulier de la sph` ere. Cette correspondance se
fait comme suit :
• le poly` edre est centr´ e en l’origine. Les distances entre l’origine et les sommets
sont alors les mˆ emes, et on consid` ere la sph` ere passant par tous ces sommets ;
• on joint par des arcs de grands cercles sur la sph` ere deux sommets du poly` edre
reli´ es par une arˆ ete.
Le r´ esultat est le pavage de la sph` ere d´ esir´ e. (Cette correspondance est aussi d´ ecrite
dans la section 15.8.) La figure 2.15 montre cette construction pour l’icosa` edre.
Cette construction peut ˆ etre faite chaque fois qu’un poly` edre poss` ede tous ses